Sln(R) connexe

[melreg]

Bonjour,

Est-ce que vous connaissez une preuve facile du fait que est connexe?
Par facile j'entends une preuve ne faisant pas appel aux groupes de Lie, ni aux variétés.

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Il me semble qu'un utilisant le procédé d'orthogonalisation de Gramm-Schmidt, on peut construire "à la main" un chemin dans Sl(n) d'une matrice quelconque à la matrice identité.
Cela prouve que Sl(n) est connexe par arc, donc connexe.

[melreg]

Je regarde la piste Gram-Schmidt...
Merci

[Nightmare]

Salut !

Sinon, on peut utiliser que toute matrice inversible est produit d'une matrice symétrique définie positive et d'une matrice orthogonale. Si la matrice est de déterminant 1, les deux aussi. Reste à montrer la connexité de SOn(R) (facile par récurrence) et celle des matrices symétriques définies positives de déterminant 1 (assez facile en diagonalisant).

Bien entendu, la méthode "à la main" de Ben est plus efficace !

[ffpower]

Une autre idée "a la main":
Si A et B sont de determinant 1, on les rejoint l'une à l'autre par un chemin quelconque, s'en s'occuper du déterminant ( disons par exemple le chemin (1-t)A+tB, pour aller au plus simple ). Ensuite on remarque que pour tout x, ce chemin permet de relier A+xI à B+xI. De plus si x est assez grand , ce chemin sera constitué de matrices de det >0. Donc on choisit un tel réel x, puis: on passe de A a A+xI, puis de A+xI a B+xI, puis de B+xI a B. Et pour finir, on divise toutes les matrices par leur déterminant(>0) pour rester dans SL_n(R)