Sin(z)

[MacManus]

Bonsoir

Dans un petit exercice d'analyse complexe, j'ai montré que l'on a les relations suivantes (pour tout complexe z):

cos(iz)=ch(z)
sin(iz)=ish(z)
cos(z)=ch(iz)
sin(z)=-ish(iz)

Ensuite on me demande de représenter sur une période de 2pi, l'image des droites horizontales et verticales du plan complexe par la fonction
z -->sin(z).
Comment procéder ? merci pour votre aide!

[mathelot]

Bs,

tu peux considérer que l'ensemble des images sin(z)
est paramétré par z. Mieux, par (x,y)

calculer sin(z) dans le cas où z=x+iy.

déterminer des sous-ensembles géométriques: droites, cercles,etc..
regarder les propriétés du paramétrage: injectivité, surjectivité,..

[MacManus]

Pour z=x+iy, on a :
sin(x+iy)=sin(x)cos(iy)+cos(x)sin(iy) = sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)

comment considérer des ss-ensembles géométriques ? je pose sin(x+iy)=0 ?

[mathelot]

Par exemple, pour déterminer l'image d'une droite horizontale par le sinus,
poser :

y=y_0
x=t



donc ellipse,

pour déterminer l'image d'une droite verticale par le sinus,
poser :

x=x_0
y=t



donc hyperbole

[MacManus]

D'accord, tu déduis qu'il s'agit d'une ellipse ou d'une hyperbole en te référant aux représentations paramétriques de ces dernières :

hyperbole: ( a ch(t), b sh(t) ) où a=sin(x0) et b=icos(x0)
ellipse: ( a cos(t), b sin(t) ) où a=ish(y0) et b=ch(y0)

Merci bcp mathelot

[Ben314]

Salut,
Je rajouterais (à la rigueur) que si tu veut faire une constatation trés interessante, tu peut regarder la chose suivante :
N'importe quelle droite horizontale est évidement perpendiculaire à n'importe quelle droite horizontale.
Si on prend leurs images par la fonction sinus (je pense que tu as fait un dessin) et que l'on regarde l'angle de leurs tangentes au point où ces images se coupent, que constate t'on ? Pourquoi ?

[MacManus]

Salut Ben

ah! on remarque que les angles formés par les tangentes aux points d'intersections sont des angles droits également. L'orthogonalité est préservée car la fonction z --> sin(z) est holomorphe non ? je ne sais pas si c'est la vrai raison...

edit: il faut aussi que sin'(z0) différent de 0 (où z0=x0+iy0)

[Ben314]

ah! on remarque que les angles formés par les tangentes aux points d'intersections sont des angles droits également. L'orthogonalité est préservée car la fonction z --> sin(z) est holomorphe non ? je ne sais pas si c'est la vrai raison...

edit: il faut aussi que sin'(z0) différent de 0 (où z0=x0+iy0)

Si, c'est tout à fait la bonne raison : les fonction holomorphes préservent les angles (on dit que ce sont des applications "conformes") sauf effectivement aux points où la dérivée est nulle.

[mathelot]

Bravo Ben, très joli: :++:

deux familles de droites orthogonales sont envoyées sur une famille
d'hyperboles et d'ellipses également orthogonales.

je note de regarder ce qui se passe pour la lemniscate de Bernoulli qui est une courbe "intermédiaire" entre les ellipses et les hyperboles