Limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
-
acteon
- Membre Naturel
- Messages: 80
- Enregistré le: 15 Jan 2016, 13:06
-
par acteon » 28 Mai 2018, 19:10
Bonjour , je dois montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0
avez-vous une idée?
j'ai essayé pas mal de choses mais sans grand succès (poser t=1/x dans une partie de la fraction, enlever et ajouter une quantité pour essayer de faire apparaître une fonction bornée etc...) mais je sèche un peu et j'ai pas envie de passer aux epsilons
Merci!
-
Pseuda
- Habitué(e)
- Messages: 3222
- Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44
-
par Pseuda » 28 Mai 2018, 20:57
.....
Modifié en dernier par
Pseuda le 28 Mai 2018, 22:52, modifié 1 fois.
-
pascal16
- Membre Légendaire
- Messages: 6663
- Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
- Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV
-
par pascal16 » 28 Mai 2018, 21:44
vu le 1/x² va prendre toute valeurs entre -1 et 1 proche de 0, avec des zéros placés en des endroits différents de 1/x , tu peux la majorer en valeur absolue par |x²/sin(pi/x) | pour simplifier l'écriture... que j'ai du mal à imaginer bornée proche de 0.
[edit] -> non en fait, les zéros du dénominateur correspondent à des zéros du numérateur
Modifié en dernier par
pascal16 le 29 Mai 2018, 09:20, modifié 1 fois.
-
Ben314
- Le Ben
- Messages: 21482
- Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53
-
par Ben314 » 28 Mai 2018, 23:14
Salut,
Si
et qu'on écrit
avec
et
alors :
(Car la courbe de la fonction sinus est au dessus de sa corde sur l'intervalle
).
(Car
pour tout réel
)
Et on en déduit que
lorsque
pour tout
C.Q.F.D.
Remarque : Plus précisément, la fonction
est non seulement prolongeable par continuité à
tout entier, mais elle est bornée sur
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
-
acteon
- Membre Naturel
- Messages: 80
- Enregistré le: 15 Jan 2016, 13:06
-
par acteon » 29 Mai 2018, 00:09
Je vous remercie pour vos 3 réponses, assez différentes, il faut que je continue à réfléchir à la première d'ailleurs
.
Merci et à bientôt sans doute
-
Pseuda
- Habitué(e)
- Messages: 3222
- Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44
-
par Pseuda » 29 Mai 2018, 00:26
Pour éviter les epsilon, peut-être utiliser : sur [-pi/2, pi/2], 2|x|/pi <= |sin(x)| <= |x|, et faire une translation sur un nombre entier de pi.
-
pascal16
- Membre Légendaire
- Messages: 6663
- Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
- Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV
-
par pascal16 » 29 Mai 2018, 09:18
Je comprends mon erreur
avec la transformation x=1/t, on a bien que les zéros de "sin(pi.t)" sont bien liés à ceux de "sin(pi.t²)" et que donc mon raisonnement est faux.
-
Pseuda
- Habitué(e)
- Messages: 3222
- Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44
-
par Pseuda » 29 Mai 2018, 10:04
Pseuda a écrit:Pour éviter les epsilon, peut-être utiliser : sur [-pi/2, pi/2], 2|x|/pi <= |sin(x)| <= |x|, et faire une translation sur un nombre entier de pi.
Bonjour,
Pour
,
. Donc
.
On obtient pour
. A continuer en considérant
. Sans garantie.
Modifié en dernier par
Pseuda le 29 Mai 2018, 19:09, modifié 1 fois.
-
acteon
- Membre Naturel
- Messages: 80
- Enregistré le: 15 Jan 2016, 13:06
-
par acteon » 29 Mai 2018, 11:29
oui merci, en fait le epsilon de la démo de Ben n'est pas le epsilon de la définition de la limite, il ne me dérange pas
. D'ailleurs on peut écrire une variante (juste différente sur la forme), on prend la caractérisation séquentielle , après changement de variable t = 1/x on cherche la limite de g(t) quand t tend vers + ou - infini, et on prend tn une suite qui tend vers + infini, et on écrit tn = kn +en avec kn dans Z et en dans [-1/2, 1/2]...je n'apporte rien évidemment.
Merci et bonne journée!
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 27 invités