Limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

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acteon
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limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par acteon » 28 Mai 2018, 19:10

Bonjour , je dois montrer que la fonction f se prolonge par continuité en 0



avez-vous une idée?

j'ai essayé pas mal de choses mais sans grand succès (poser t=1/x dans une partie de la fraction, enlever et ajouter une quantité pour essayer de faire apparaître une fonction bornée etc...) mais je sèche un peu et j'ai pas envie de passer aux epsilons :pleur4:

Merci!



Pseuda
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par Pseuda » 28 Mai 2018, 20:57

.....
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pascal16
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par pascal16 » 28 Mai 2018, 21:44

vu le 1/x² va prendre toute valeurs entre -1 et 1 proche de 0, avec des zéros placés en des endroits différents de 1/x , tu peux la majorer en valeur absolue par |x²/sin(pi/x) | pour simplifier l'écriture... que j'ai du mal à imaginer bornée proche de 0.
[edit] -> non en fait, les zéros du dénominateur correspondent à des zéros du numérateur
Modifié en dernier par pascal16 le 29 Mai 2018, 09:20, modifié 1 fois.

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Ben314
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par Ben314 » 28 Mai 2018, 23:14

Salut,
Si et qu'on écrit avec et alors :

(Car la courbe de la fonction sinus est au dessus de sa corde sur l'intervalle ).

(Car pour tout réel )

Et on en déduit que lorsque pour tout
C.Q.F.D.

Remarque :
Plus précisément, la fonction est non seulement prolongeable par continuité à tout entier, mais elle est bornée sur
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

acteon
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par acteon » 29 Mai 2018, 00:09

Je vous remercie pour vos 3 réponses, assez différentes, il faut que je continue à réfléchir à la première d'ailleurs :).
Merci et à bientôt sans doute

Pseuda
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par Pseuda » 29 Mai 2018, 00:26

Pour éviter les epsilon, peut-être utiliser : sur [-pi/2, pi/2], 2|x|/pi <= |sin(x)| <= |x|, et faire une translation sur un nombre entier de pi.

pascal16
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par pascal16 » 29 Mai 2018, 09:18

Je comprends mon erreur
avec la transformation x=1/t, on a bien que les zéros de "sin(pi.t)" sont bien liés à ceux de "sin(pi.t²)" et que donc mon raisonnement est faux.

Pseuda
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par Pseuda » 29 Mai 2018, 10:04

Pseuda a écrit:Pour éviter les epsilon, peut-être utiliser : sur [-pi/2, pi/2], 2|x|/pi <= |sin(x)| <= |x|, et faire une translation sur un nombre entier de pi.

Bonjour,

Pour , . Donc .

On obtient pour . A continuer en considérant . Sans garantie.
Modifié en dernier par Pseuda le 29 Mai 2018, 19:09, modifié 1 fois.

acteon
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Re: limite en 0 de x^2 sin(pi/x^2)/sin(pi/x)

par acteon » 29 Mai 2018, 11:29

oui merci, en fait le epsilon de la démo de Ben n'est pas le epsilon de la définition de la limite, il ne me dérange pas ;). D'ailleurs on peut écrire une variante (juste différente sur la forme), on prend la caractérisation séquentielle , après changement de variable t = 1/x on cherche la limite de g(t) quand t tend vers + ou - infini, et on prend tn une suite qui tend vers + infini, et on écrit tn = kn +en avec kn dans Z et en dans [-1/2, 1/2]...je n'apporte rien évidemment.
Merci et bonne journée!

 

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