X^x - (sin x)^x

[Abilys38]

Bonjour,

Je cherche "la partie principale" de cette fonction au voisinage de 0. C'est à dire le terme de plus bas degrés.
Je ne vois pas trop comment y arriver.
J'ai tenté en commençant avec ln mais je me retrouve avec un ln(x) que je peux pas développer. J'ai tenté de dérivé mais le x^x est toujours présant. J'ai tenté de passer par la formule de base mais je ne pense pas que ça soit bon non plus...

Avez vous des idées?

Merci !!

[Arbre]

Bonjour,


Si on le fait pour

On obtient :




En effet

[Arbre]

Non, j'ai fait une erreur :





...

[pascal16]

perso j'ai du (x^3)/6 qui tends vers 0 quand x tend vers 0

je suis passé par cette forme :



[edit] : la limite colle cette fois

[Abilys38]

Merci pour vos réponses.
Je Vais partir du départ de Pascal et finir par moi même !

[Arbre]

Oui, effectivement c'est plus simple.

[Abilys38]

Pascal, je me retrouve avec:

Puis je remplace par 1 + o(1) puis je multiplie pour obtenir mon résultat final.

C'est ça que vous avez fait?

[Kolis]

Bonjour à tous !
@Pascal16 : d'où viens ta formule ? Tu as dans la parenthèse et remplacé un par il me semble ! Ce faisant, tu fais une somme d'équivalents et il faudrait justifier ton résultat qui me semble faux.

Je propose : soit prolongée par .
est dérivable sur et, par formule des accroissements finis :
.
Or (il suffit de noter que ) donc
@abilys38 : une partie principale contenant ce n'est pas scandaleux, il existe des fonctions qui n'ont PAS de développement limité.

[Abilys38]

Bonjour,

Que veux tu dire par là? Une partie principale peut contenir du ln(x)?

Cependant, la réponse que propose Pascal est conforme au corrige. Et il n'a pas fait une somme d'équivalent !! Il a fait un ln(sin x) - ln x = ln(sinx/x) et avant cela, il a mis lexponentielle en facteur. J'ai refais pour vérifier

[zygomatique]

salut





donc

bon on continue ...

donc

[Abilys38]

X^3/3 + o(1), ça ne veut rien dire non? Car avec le o(1) le x^3 disparaît n'est ce pas?

Je suis à peu près sur que le résultat que Pascal et moi trouvons est le bon au vu du corrigé.

[zygomatique]

ben un o(1) c'est un reste négligeable ... donc quelque chose qui tend vers 0 avec la variable ...

[pascal16]

avec la multiplication comme j'ai fait, le o(1) fois x^3 devient un o(x^3)

le xln(x), il a une limite en 0, mais pas de de DL à l'ordre n.

[Abilys38]

Ok Pascal donc c'est ce que j'ai fais aussi !!

[Arbre]

@Zygomatique quoi : tu voulais plus tôt écrire on travaille en 0 et non en l'infini, sans cela c'est inexploitable, je rappelle qu'au voisinage de 0 :

[zygomatique]

bof sans intérêt d'apporter plus d'info pour une partie principale ...

[Arbre]

Bon alors pourquoi n'avoir pas écrit juste o(1) ? ? ?
Ce que tu as écrit, revient en bon français à mettre la charue avant les boeufs...

[Kolis]

Bonjour !
@Abilys38 (message du 21, 14:21) :
Je n'avais pas bien lu l'énoncé et traité l'exercice plus classique : . Pour l'énoncé original, la solution de Pascal16 est correcte.

Pour l'existence d'un "log" dans une partie principale, il faut se mettre d'accord. Pour moi une partie principale, si elle existe, demande qu'on propose une échelle de comparaison.
En prenant celle des puissances de au voisinage de 0, il ne devrait y avoir que des puissances de mais, plus généralement, si on ne précise pas l'échelle il est sous-entendu (au voisinage de 0) qu'on prend celle des etc...

@zygomatique
Partie principale de veut dire aussi équivalent ! Donc la précision donnée doit être un ou si tu notes l'équivalent proposé.
Dans ce cas la précision est sans intérêt.

[Pseuda]

...

Bonjour,

Oups, à mon avis tout ceci ne permet pas d'aboutir au résultat.

[Arbre]

Bonjour,

@Pseuda :