Bonsoir à tous ! ^_^
Durant mon marathon de sujets de concours je suis tombé sur un truc sur les séries de Fourier: Sujet CCP PC 1990 maths 1 énoncé trouvable sur : ftp://ftp.drimm.u-bordeaux1.fr/UPS/files/corriges-1990/index.html
J'ai été totalement bloquée sur la dernière partie du sujet je cherche donc des éléments de réponses voir un corrigé disponible si existant ^_^
Je suis désolée pour la forme peu pratique de ce post mais le sujet est en pdf et je ne sais pas comment le copier coller T_T. Et comme je ne maitrise absolument pas l'écriture de formules mathématiques j'ai pas pu recopier l'énoncé... Désolée T_T...
Mais bon si une gentille âme veux bien m'aider un ptit peu ^_^
Avis aux amateurs donc ^_^
Merci aux éventuelles répondeurs ^_^
Série de Fourier
8 messages
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par Chimerade » 29 Sep 2005, 21:13
Non inscrit a écrit:Bonsoir à tous ! ^_^
Durant mon marathon de sujets de concours je suis tombé sur un truc sur les séries de Fourier: Sujet CCP PC 1990 maths 1 énoncé trouvable sur : ftp://ftp.drimm.u-bordeaux1.fr/UPS/files/corriges-1990/index.html
J'ai été totalement bloquée sur la dernière partie du sujet je cherche donc des éléments de réponses voir un corrigé disponible si existant ^_^
Je suis désolée pour la forme peu pratique de ce post mais le sujet est en pdf et je ne sais pas comment le copier coller T_T. Et comme je ne maitrise absolument pas l'écriture de formules mathématiques j'ai pas pu recopier l'énoncé... Désolée T_T...
Mais bon si une gentille âme veux bien m'aider un ptit peu ^_^
Avis aux amateurs donc ^_^
Merci aux éventuelles répondeurs ^_^
Je veux bien faire un petit effort, mais pas tout le problème ! Si tu nous disais quelle question tu n'as pas su faire !
par Chimerade » 30 Sep 2005, 13:35
Le début...
III-1-a
x]}{2q-1})
Il est clair quex]}{2q-1})
est impair. En outre, la périodicité de la fonction sinus permet de trouver rapidement celle de :
(x+T_q)=(2q-1)(x)+2\pi)
D'où :T_q = 2\pi)
ou :
est la plus petite période de . Nous savons que tous les multiples de sont également périodes de ce terme.
Si l'on trouve une valeur qui soit période de chacun de ces n termes, cette valeur sera période de la somme. Or il est clair que toutes ces périodes ont pour multiple la plus grande d'entre elles :
.
est donc période de 
. Pour le bien, il faudrait montrer que ce nombre est bien la plus petite période, et ce n'est pas très évident : nous nous contenterons de celle-ci.
On peut donc se contenter de l'étude de entre 
et 
. Comme est impair, on peut encore réduire l'intervalle d'étude à 
On constate enfin que la propriété de la fonction sinus = sin (x))
a pour conséquence que :
(\pi - x)]}{2q-1}=\frac{sin[(2q-1)\pi -(2q-1)x)]}{2q-1}=\frac{sin[(2q-2)\pi +\pi -(2q-1)x)]}{2q-1}=\frac{sin[\pi -(2q-1)x)]}{2q-1}=\frac{sin[(2q-1)x)]}{2q-1})
Par conséquent = S_n(x))
ce qui montre que le graphe de la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation 
III-1-b
L'arc)
de la courbe entre 0 et 
pourra donc être complété par symétrie par rapport à la droite d'équation . Ensuite, une symétrie par rapport à O permettra de compléter la courbe entre et
. Et enfin un série de translations de vecteur 
avec 
définira l'intégralité de la courbe )
III-1-c
Pour
=\frac{\frac{1}{2n}sin(x)}{sin(\frac{x}{2n})})
est continue comme somme de fonctions continues.
Lorsque
, numérateur et dénominateur sont tous deux équivalent à 
, donc  \to 1)
, qui est la valeur de )
. La fonction est donc continue à droite en 0.
Lorsque
, posons 
.
ALors,
=sin(2n\pi - \epsilon)=sin(- \epsilon)=-sin(\epsilon))
et :
 = sin(\frac{2n\pi - \epsilon}{2n}) = sin(\pi-\frac{\epsilon}{2n})=sin(\frac{\epsilon}{2n}) \equiv \frac{\epsilon}{2n})
Donc \to -1)
ce qui est la valeur de )
. La fonction est donc continue à gauche en 
.
est donc continue sur 
!
III-2-a
x])
xi}\})
xi}\})
Orxi})
est la somme des n premiers termes de la série géométrique dont le premier terme est 
et dont la raison est 
. La somme en question est donc égale à :
Donc :
xi} = e^{xi}\times \frac{[e^{2xi}]^n-1}{e^{2xi}-1}= e^{xi}\times \frac{e^{2nxi}-1}{e^{2xi}-1})
Simplifions l'expression
 = e^{iy}*2isin(y))
On en déduit :
)
)
Et :
xi} = e^{xi}\times \frac{e^{inx}*2i\ sin(nx)}{e^{ix}\times 2i\ sin(x)}= \frac{e^{inx}\times \ sin(nx)}{\ sin(x)})
\times sin(nx)}{sin(x)})
}{2sin(x)})
Sauf erreur...
III-1-a
Il est clair que
D'où :
ou :
Si l'on trouve une valeur qui soit période de chacun de ces n termes, cette valeur sera période de la somme. Or il est clair que toutes ces périodes ont pour multiple la plus grande d'entre elles :
On peut donc se contenter de l'étude de
On constate enfin que la propriété de la fonction sinus
Par conséquent
III-1-b
L'arc
III-1-c
Pour
est continue comme somme de fonctions continues.
Lorsque
Lorsque
ALors,
et :
Donc
III-2-a
Or
Donc :
Simplifions l'expression
On en déduit :
Et :
Sauf erreur...
par Anonyme » 30 Sep 2005, 16:33
Wouao ! michi michi michi !
En fait j'ai été bloquée sur presque toute la partie III mais je ne m'attendais pas à une réponse aussi complète merci beaucoup c'est déjà énorme ^_^
Je comprend déjà beaucoup mieux la méthode... Je me sens un peu gourde T_T et n'ose qu'à peine demander des petits indices pour la suite mais même quelques petites idées seront déjà bien ^_^
J'avoue que je m'attendais pas à un départ aussi détaillé merci mille fois ^_^
En fait j'ai été bloquée sur presque toute la partie III mais je ne m'attendais pas à une réponse aussi complète merci beaucoup c'est déjà énorme ^_^
Je comprend déjà beaucoup mieux la méthode... Je me sens un peu gourde T_T et n'ose qu'à peine demander des petits indices pour la suite mais même quelques petites idées seront déjà bien ^_^
J'avoue que je m'attendais pas à un départ aussi détaillé merci mille fois ^_^
par Chimerade » 30 Sep 2005, 16:39
Non inscrit a écrit:Wouao ! michi michi michi !
En fait j'ai été bloquée sur presque toute la partie III mais je ne m'attendais pas à une réponse aussi complète merci beaucoup c'est déjà énorme ^_^
Je comprend déjà beaucoup mieux la méthode... Je me sens un peu gourde T_T et n'ose qu'à peine demander des petits indices pour la suite mais même quelques petites idées seront déjà bien ^_^
J'avoue que je m'attendais pas à un départ aussi détaillé merci mille fois ^_^
Bon, essaie de faire le III-2-b, le III-3-a, etc... et rappelle-moi si tu bloques à nouveau, mais chacun son tour hein ?
par Anonyme » 30 Sep 2005, 18:26
Grroar décidément j'ai trop de mal j'abandonne... T_T je me suis totalement emmellée les pinceaux en cherchant la question III.4... T_T... petit mal de tête... T_T
Merci encore à toi Chimerade... promis la prochaine fois je ferais preuve de plus de percévérance mais là petit manque de temps... et d'aspirine ^_^
à peluche ^_^
Merci encore à toi Chimerade... promis la prochaine fois je ferais preuve de plus de percévérance mais là petit manque de temps... et d'aspirine ^_^
à peluche ^_^
par Chimerade » 01 Oct 2005, 11:47
Non inscrit a écrit:Grroar décidément j'ai trop de mal j'abandonne... T_T je me suis totalement emmellée les pinceaux en cherchant la question III.4... T_T... petit mal de tête... T_T
Merci encore à toi Chimerade... promis la prochaine fois je ferais preuve de plus de percévérance mais là petit manque de temps... et d'aspirine ^_^
à peluche ^_^
Ne me dis pas que j'ai fait tout ça pour rien ! Tu as passé une bonne nuit, tu t'es bourrée d'aspirine ! Allez courage, maintenant, tu reprends !
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