Série de Fourier

[ArtyB]

Bonsoir,

Petit exercice pour lequel je n'ai pas la moindre idée, si vous aviez une piste de recherche pour la question 3 cela m'aiderait beaucoup.
Bonne soirée,

Arty


Soit .Soit la fonction deux pi périodique telle que:
pour t
1.Donner l’expression de pour .
2. Calculer les coefficients de Fourier de f.
3. En déduire que pour tout t réel:


1) On a
2) On a sur R:



Puisque l'on a l'expression de f seulement sur l'intervalle

[Robot]

Pourquoi es-tu bloqué pour calculer les coefficients de Fourier de ?

[ArtyB]

Finalement j'ai trouvé, comme la fonction f est paire, et après beaucoup de calculs je suis arrivé à

Et pour la 3):

Et en posant , on a:
et ensuite on divise par sin(x)

[Ben314]

Pour les coeff. c'est bon, modulo
- Que ton code MimeTeX déconne donc ça affiche de travers.
- Dans le cas particulier de c'est pas bon.
- Dans le cas particulier où est entier (rien ne précise dans l'énoncé qu'il ne l'est pas), ton truc déconne (division by 0 error...)

Ensuite, à mon avis, il y a un truc à dire avant de balancer tout cru que est égal à la somme de la série (somme qui n'est pas toujours égale à la fonction de départ...)

Enfin, il y a un problème (y compris dans l'énoncé) pour la question 3 : l'égalité en question n'est surement pas valable "pour tout t réel" vu que, en particulier lorsque sin(t)=0, elle ne veut rien dire (re division by 0 error)

[ArtyB]

Ok en fait coquille dans l'énoncé qu'ils ont donné, c'est R\Z pour alpha et pour x et non R apparemment.

Ensuite, à mon avis, il y a un truc à dire avant de balancer tout cru que est égal à la somme de la série (somme qui n'est pas toujours égale à la fonction de départ...)

J'avais oublié de dire que la série de Fourier converge.

[Ben314]

J'avais oublié de dire que la série de Fourier converge.

A mon sens, c'est toujours pas vraiment suffisant : il est possible que la série de Fourier converge mais qu'elle converge vers autre chose que la valeur de la fonction de départ.

De plus, à mon avis, il faut écrire explicitement le pourquoi la série converge (et pourquoi elle converge bien vers la fonction de départ), c'est à dire bien écrire quels sont les hypothèses des théorèmes utilisés, même si dans le contexte présent ces hypothèses sont "trivialement" vérifiées.

[mathelot]

on a les conditions de Dirichlet "f C1 par morceaux"
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Dirichlet_(s%C3%A9ries_de_Fourier)
qui assure la convergence de la série de Fourier vers f ponctuellement

[aymanemaysae]

La fonction f définie sur est continue sur et de classe par morceaux sur .

En ce qui concerne la périodicité j'ai un grand problème :

En considérant que la période de f est , la valeur de que je trouve est aberrante:



.

C'est peut-être la période que j'ai considérée qui est fausse:

j'ai considéré que , et , donc : je suis sur que c'est faux, mais je ne sais pas pourquoi.

[Ben314]

on a les conditions de Dirichlet "f C1 par morceaux"
qui assure la convergence de la série de Fourier vers f ponctuellement

Non, ça assure effectivement la convergence ponctuelle, mais pas forcément vers f.

[Robot]

Soit la fonction -périodique ...

En considérant que la période de est ...

[aymanemaysae]

Merci M. Robot pour la phrase qui a tout remis en ordre dans ma logique.

Une simple question pour satisfaire ma curiosité: si ce n'était pas le cas, et si on n'avait pas astreint la fonction à être périodique de période , est ce que la période aurait été et ?

[aymanemaysae]

Après la remarque de M. Robot , je rectifie la démarche que j'ai suivie pour calculer :

La fonction f définie sur est continue sur et de classe par morceaux sur , de plus elle est -périodique par hypothèse (j'aime ce terme là car il simplifie beaucoup les exercices), donc par le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge vers f sur .



.

Je crois que cette fois mes calculs sont justes.

Par peur d'enfreindre les règles de la Charte, je m'abstiendrai de poster les autres résultats que j'ai trouvés pour laisser l'honneur à M. Artyb de finir son exercice.

[aymanemaysae]

J'ai attendu très longtemps que l'on donne la solution de cet exercice pour la comparer avec la mienne, mais en vain: je donne ici ma version de la solution .

La fonction f définie sur est continue sur , de classe par morceaux sur , et comme l'a signalé M. Robot de période 2, donc d'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de la fonction f converge sur .

Calculons maintenant les coefficients de cette série:

Calcul de ;



.

Calcul de pour





.

On a ,

et ,

donc on a:












Calcul de pour .

Comme la fonction f est paire , donc on a .

Pour récapituler, on a : et pour on a et .

Si c'est juste il est alors facile de donner et .

J'attendrais une confirmation du résultat de M. Artyb ou de tout un chacun avant de donner ces deux derniers résultats.

[aymanemaysae]

Je vais supposer que le résultat auquel je suis arrivé est juste et je continuerai:

Pour récapituler, on a : et pour on a et .

donc \



,

donc ,

et .

Je crois que j'y suis arrivé.