Série de Fourier Problème

[beaudav75]

Bonjour a tous,

Donc voilà c'est la première fois que je viens demander de l'aide dans un forum de mathématiques. J'ai un devoir a rendre pour très bientôt, lundi, avec lequel j'ai passé énormément de temps (depuis hier) et je souhaiterais avoir votre avis, une correction car même i j'ai su répondre je doute encore de mes réponses, en plus de cela, mes professeurs sont très exigeants donc ils enlèvent des points ou ils peuvent...

C'est pourquoi j'aurai vraiment besoin d'une correction de votre part, et pour cela je vous en remercie d'avance.

Je l'ai réécrit au propre, en gros caractère, et scanner mes réponses (elles sont tout a fait compréhensibles vu que j'ai pris le temps de m'appliquer).

Voici l'exercice : http://hpics.li/a9e3ac7

Voici mes réponses : http://hebergement-pdf.com/mypdf.php?n=643


Aussi j'ai deux questions :
1- pourquoi pour calculer a0, coefficient de fourier, la formule est "à part" : ne peut on pas simplement remplacer n par 0 dans notre expression de an ? Autrement dit, l'expression de an n'est elle pas valable pour n=0 parfois ?

2- Dans la question 2), est ce que je prouve que la série converge normalement ou uniformément ? Et Ne pouvait-on pas utiliser les séries alternées ?

3- Est ce que la méthode utilisée pour démontrer la continuité et la dérivabilité a droite et a gauche est elle juste ? Je ne vois pas vraiment l'utilité de le démontrer puisque f est définie sur pi sur la 2ème période [pi , 3pi[, cos étant continue et dérivable sur R, on en déduit que f est continue et dérivable sur R, non ?



Voila tout, Sur ce je vous remercie d'avance de votre compréhension, sincerement et vous souhaite de passer une bonne nuit.
Amicalement,
Fabien

Ps : S'il vous plait, ne refusez pas de me répondre sous prétexte que je ne l'ai pas réécrit sur ordi : j'ai vraiment besoin de votre aide sur ce coup là (et Dieu sait que j'en ai aidé un certain nombre a s'en sortir dans d'autres disciplines....).

[capitaine nuggets]

Salut !

1- pourquoi pour calculer a0, coefficient de fourier, la formule est "à part" : ne peut on pas simplement remplacer n par 0 dans notre expression de an ? Autrement dit, l'expression de an n'est elle pas valable pour n=0 parfois ?

2- Dans la question 2), est ce que je prouve que la série converge normalement ou uniformément ? Et Ne pouvait-on pas utiliser les séries alternées ?

3- Est ce que la méthode utilisée pour démontrer la continuité et la dérivabilité a droite et a gauche est elle juste ? Je ne vois pas vraiment l'utilité de le démontrer puisque f est définie sur pi sur la 2ème période [pi , 3pi[, cos étant continue et dérivable sur R, on en déduit que f est continue et dérivable sur R, non ?



Voila tout, Sur ce je vous remercie d'avance de votre compréhension, sincerement et vous souhaite de passer une bonne nuit.
Amicalement,
Fabien

Ps : S'il vous plait, ne refusez pas de me répondre sous prétexte que je ne l'ai pas réécrit sur ordi : j'ai vraiment besoin de votre aide sur ce coup là (et Dieu sait que j'en ai aidé un certain nombre a s'en sortir dans d'autres disciplines....).

1°) Dans ce cas ci, tu peux calculer en te servant de lorsque .
Si on avait eu, par exemple , là il aurait fallu revenir au dernier calcul où pouvait être nul.

Remarque pour le calcul de :
est paire donc l'est aussi donc :
.

2°) Je dirai qu'on peut s'en sortir avec le critère de convergence portant sur les séries alternées à condition de bien vérifier les hypothèse :
En posant , doit-être de signe constant, et :++:

3°) Pour ce qui est de la continuité et de la dérivabilité, je pense qu'il faut juste le faire sur en se servant également du fait que est de période égale à l'amplitude de l'intervalle .

4°) Ta réponse n'est pas claire pour moi et doit manquer de rigueur : en particulier quand tu fait passer le sinus au dénominateur, il faut immédiatement dire pour quelles valeurs cela garde du sens :+++:

[beaudav75]

Salut !



1°) Dans ce cas ci, tu peux calculer en te servant de lorsque .
Si on avait eu, par exemple , là il aurait fallu revenir au dernier calcul où pouvait être nul.

Remarque pour le calcul de :
est paire donc l'est aussi donc :
.

2°) Je dirai qu'on peut s'en sortir avec le critère de convergence portant sur les séries alternées à condition de bien vérifier les hypothèse :
En posant , doit-être de signe constant, et :++:

3°) Pour ce qui est de la continuité et de la dérivabilité, je pense qu'il faut juste le faire sur en se servant également du fait que est de période égale à l'amplitude de l'intervalle .

4°) Ta réponse n'est pas claire pour moi et doit manquer de rigueur : en particulier quand tu fait passer le sinus au dénominateur, il faut immédiatement dire pour quelles valeurs cela garde du sens :+++:

Déjà je tiens à vous remercier de m'avoir répondu.

C'est très bien expliquer, merci. mais j'aurais quelques questions :

1- M'a ton dit que j'avais un problème avec mon équivalent dans la question 2) ? Est ce vrai ? Pourtant l'équivalent en n-->infini d'une fonction est bien défini comme la limite de cette fonction en infini, non ?

2- Pour la question 3), je ne vois toujours pas l'intérêt de démontrer la dérivabilité et la continuité en pi puisque sur le prochain intervalle [pi, 3pi[, f(x) est défini pour pi : donc c'est comme s'il n'y avait pas de discontinuité.... c'est comme si la fonction était : f(x) = cos(ax) sur [-pi, pi] 2pi-périodique, non ?

3- Sinon pour répondre a cette question 3), la facon dont j'ai répondu est elle exact ? elle me semble un peu simplet....

4- Toujours pour cette meme question, ne pouvait on pas simplement montrer la dérivabilité a droite et a gauche et en conclure la continuité sur R ?

5- Le fait que S(x) converge sur R tout entier n'engendre pas la continuité de f, si ? (on parle bien de la continuité de f et non pas de S)

7- Question idiote : l'integrale sur -pi pi est elle egale a l'integrale sur 0 2pi ?


Ca fait un peu long mais je ne m'attendais pas a toutes ces remarques : je pensais que j'allais avoir un "Bravo c'est excellent...." donc je me pose plein de questions....
Que dire de plus, sinon espérer que vous prendrez le temps de répondre à ces quelques questions et vous remerciez d'avance pour tout.

Bien Amicalement,
Fabien

[capitaine nuggets]

Déjà je tiens à vous remercier de m'avoir répondu.

C'est très bien expliquer, merci. mais j'aurais quelques questions :

1- M'a ton dit que j'avais un problème avec mon équivalent dans la question 2) ? Est ce vrai ? Pourtant l'équivalent en n-->infini d'une fonction est bien défini comme la limite de cette fonction en infini, non ?

2- Pour la question 3), je ne vois toujours pas l'intérêt de démontrer la dérivabilité et la continuité en pi puisque sur le prochain intervalle [pi, 3pi[, f(x) est défini pour pi : donc c'est comme s'il n'y avait pas de discontinuité.... c'est comme si la fonction était : f(x) = cos(ax) sur [-pi, pi] 2pi-périodique, non ?

3- Sinon pour répondre a cette question 3), la facon dont j'ai répondu est elle exact ? elle me semble un peu simplet....

4- Toujours pour cette meme question, ne pouvait on pas simplement montrer la dérivabilité a droite et a gauche et en conclure la continuité sur R ?

5- Le fait que S(x) converge sur R tout entier n'engendre pas la continuité de f, si ? (on parle bien de la continuité de f et non pas de S)

7- Question idiote : l'integrale sur -pi pi est elle egale a l'integrale sur 0 2pi ?


Ca fait un peu long mais je ne m'attendais pas a toutes ces remarques : je pensais que j'allais avoir un "Bravo c'est excellent...." donc je me pose plein de questions....
Que dire de plus, sinon espérer que vous prendrez le temps de répondre à ces quelques questions et vous remerciez d'avance pour tout.

Bien Amicalement,
Fabien

1- Personnellement, je ne vois pas de problème dans ton équivalent.
Attention, trouver un équivalent, n'est pas trouver une limite, mais plutôt une fonction plus simple indiquant comment se comporte ta fonction en l'infini :

;
~ .

2- Cette question est faite pour s'assurer que tout va bien du point de vue de la continuité et de la dérivabilité. A priori, on ne sait pas que tout se passe donc bien :++:

Attention, ce n'est pas parce que la fonction est défini en une point qu'elle est nécessairement continue :
Considérons la fonction -périodique définie sur par sur .

a beau être définie sur , elle n'est pourtant continue que sur les intervalles (et non pas réunions d'intervalles) de .

3- 4- Tu as une fonction continue sur , périodique, étudie donc sa continuité et dérivabilité sur .

5- Il me semble que ça dépend du type de converge de (simple, uniforme, normale).

6- De manière général, pour une fonction paire, continue par morceaux, -périodique :

ou encore .

En espérant ne pas avoir écrit de bêtises ^^
:+++:

[beaudav75]

Ok merci pour toutes ces explications. En ce qui concerne l'équivalent on m'a dit que c'etait plutot |2a|/n² ... Mais 2a etant non nul et fixé, pourquoi ca n'est pas 1/n² ?

[capitaine nuggets]

Ok merci pour toutes ces explications. En ce qui concerne l'équivalent on m'a dit que c'etait plutot |2a|/n² ... Mais 2a etant non nul et fixé, pourquoi ca n'est pas 1/n² ?

Oui, je me suis également dit que l'équivalent devait être |2a|/n² mais sachant que |2a| > 0, je pense qu'on pourrait dire que l'équivalent serait 1/n².

A confirmer.