Série de Fourier et convergence

[sylwa]

Bonjour,

La condition nécessaire pour la convergence uniforme de la série de Fourier Sf(t) vers f(t) sur un intervalle période est la continuité de f(t) sur R.
Dans le cas où f est discontinue en un point t, le mieux qu'on puisse obtenir, c'est la convergence simple de Sf(t) vers [f(t+) + f(t-)]/2 d'après Dirichlet.
Dans ce cas, on observera une sur-oscillation autour de t (phénomène de Gibbs).

D'où ma question : peut on dire que la distorsion due au phénomène de Gibbs est le prix à payer pour s'être autorisé à projeter une fonction discontinue f sur une base de fonctions continues (base de Fourier) ?

Merci pour vos commentaires.

Sylvain

[MacManus]

Bonjour

Je dirais que la réponse est oui. La base de Fourier n'est pas adaptée pour l'étude des phénomènes locaux (voisinages de discontinuités). Il existe en fait la "base de Haar" qui est une base orthonormale où la convergence uniforme est assurée pour toute fonction continue. Les fonctions de la base de Haar sont peu régulières en revanche.

[sylwa]

Bonjour

Je dirais que la réponse est oui. La base de Fourier n'est pas adaptée pour l'étude des phénomènes locaux (voisinages de discontinuités). Il existe en fait la "base de Haar" qui est une base orthonormale où la convergence uniforme est assurée pour toute fonction continue. Les fonctions de la base de Haar sont peu régulières en revanche.

Merci MacManus pour ce commentaire.