Serie Entiere

[Anonyme]

Bonjour à tous,
J'aimerais avoir un petit coup de pouce pour résoudre cet exo:
On considère une série entière réelle W=SIGMA(n=1 à inf) an xn de rayon de convergence R>0 telle que la série SIGMA anRn converge par le théorème spécial des séries alternées. Montrer que la série entière W converge uniformément sur l'intervalle [0,R]. En déduire la continuité de sa somme sur
]-R,R].

Merciii

[fonfon]

Salut, je te donne un lemme à toi de l'appliquer à ta question:

lemme:Soit SIGMA(bnx^n) une serie entiere de rayon de convergence Rb non nul.LA serie entiere SIGMA(bnx^n) converge normalement sur [-r,r] pour tout r
Preuve:

Soit p ds ]r,RB[.La suite (val.abs(bnp^n))ndsN est bornée.Notons M un de ses majorants.Alors

val.abs(bnx^n)=val.abs(bnp^n)*val.abs(x/p)^n<=M*val.abs(x/p)^n

Si x ds [-r,r] :

val.abs(bnx^n)<=M*val.abs(r/p)^n

le membre de droite est le terme general d'une serie convergente (geometrique de raison inferieure à 1) donc la convergence est normale sur [-r,r].La fct g est donc continue sur ]-r,r[ pour tout rje detaille le dernier point:
Soit y ds ]-Rb,Rb[.Il existe r>0 tel que y ds ]-r,r[.OR g est continue sur ]-r,r[ donc elle est continue en y: g est continue en tout point de ]-Rb,Rb[.En revanche ,on ne peut pas affirmer que la convergence de la serie entiere soit normale sur ]-Rb,Rb[ (ex:SIGMA(x^n))

[yos]

Je pense que fonfon a négligé l'hypothèse "série alternée".


Avec le théorème spécial des séries alternées, le reste d'ordre n de la série est majorée en valeur absolue par la valeur absolue du dernier terme négligé.
Ce dernier terme anx^n converge vers 0 uniformément sur [0,R] car il est majoré par |an|R^n qui tend vers 0 par hypothèse.

[fonfon]

Re,effectivement j'ai dû le zapper en lisant la question!