Série entière

[MacManus]

Bonjour

j'essaye de faire quelques exercices pour la forme car j'ai peu à peu oublié certaines choses. Peut-on me donner quelques indications pour celui-ci ?

Je cherche à calculer la somme de la série entière

Merci.

[uztop]

Bonjour,

d'abord, il faut s'assurer que ta série converge.
Ensuite, j'aurais bien envie de dériver pour faire disparaitre les termes en n² au dénominateur.

[MacManus]

Ok on voit que le terme général (1/n²) de cette série entière est à termes strictement positifs et tend vers 0 (c'est suffisant je pense pour assurer la convergen...non?)

Le rayon de convergence de cette série vaut 1.



c'est bien ça ?

[uztop]

attention x^n n'est pas une constante.
De plus, il n'est pas suffisant que le terme général de la suite tende vers 0 (par exemple diverge )
Pour la dérivée:




Tu peux maintenant essayer de dériver encore une fois ; ca va te donner quelque chose de plus exploitable

[MacManus]

oui on peut dire plutôt que la série de terme général converge car c'est une série de Riemann (de somme )


suite géométrique de raison x (avec |x|< 1)
Donc on peut dire que cette somme vaut

est-ce correct ??
merci

[uztop]

oui, pour la convergence, il faut dire que la série ne converge que si |x|<=1.
Pour la dérivée, c'est ça (enfin la somme commence à 0, je crois que c'est ce que tu voulais dire), maintenant, il faut retrouver la fonction d'origine.

[Clembou]

oui on peut dire plutôt que la série de terme général converge car c'est une série de Riemann (de somme )


suite géométrique de raison x (avec |x|< 1)
Donc on peut dire que cette somme vaut

est-ce correct ??
merci

Il faut utiliser le critère du rapport pour donner le rayon de convergence :++:

[uztop]

Riemann fonctionne bien:
si |x|<=1 , on peut majorer par la valeur absolue du terme général par 1/n² qui est une série convergente (Riemann), donc la série converge
Sinon, le terme général ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement

[MacManus]

J'obtiens la somme de qui est . Je peux alors décomposer cette fraction en éléments simples (). En utilisant les DL en 0 je pourrai intégrer par rapport à x et trouver la somme de la série

Est-ce une bonne vision des choses ?
Cependant je ne vois pas comment trouver de DL en 0 de 1/x...

merci encore.

[MacManus]

D'accord Uztop je comprends bien tes explications pour les critères de convergence! et merci Clembou je suis égalemnt d'accord ! :)

[uztop]

non, c'est pas tout à fat ça:

Donc
Pour déterminer k, on peut prendre par exemple x=0 et on voit que k=0

On a donc maintenant

Il faut donc intégrer cette dernière expression pour trouver le résultat final.

[MacManus]

Ah oui merci effectivement j'ai tout simplement oublier d'intégrer...bon!
Il s'agit bien d'intégrer entre -1 et 1 , n'est-ce pas?
en faisant une IPP ca doit aller...mais je cale un peu, je vais continuer à chercher

[uztop]

non, pas d'intégrer entre -1 et 1. En fait, il faut calculer la primitive (le mot intégrer n'est pas tout à fait exact)

[MacManus]

Oui en fait je m'en doutais un peu... mais je par contre je ne suis pas sûr du résultat...

[fatal_error]

Salut,

edit:*ne sait pas faire une Ipp*