Serie entière !

[barbu23]

Bonjour :
Déterminer le rayon de convergence de la serie entière suivante :
.
C'est un exemple du cours, mais j'arrive pas à le comprendre !



Voiçi la solution de mon cours :
" On ne peut pas conclure par la règle d'Alembert ni par celle de Cauchy mais , on a :
si : on a : donc : .
si : n'a pas de limite car : et n'a pas de limite à l'infini ..donc : ne tend pas vers .. par suite : .
Par conséquent : ..."



Voilà... ! j'ai rien compris de tout ça ... est ce que vous pouvez me l'expliquer ... pourquoi ni la règle d'Alembet ni celle de Cauchy ne permet de conclure ... Que veulent dire ces deux cas de la demonstration : et ..
Merci infiniment !!

[fahr451]

bonjour

il te faut reprendre ton cours pour le rayon de convergence R:

on a la propriété suivante


pour lzl < R la série converge (1)
pour lzl > R la série diverge (2)


donc si tu montres que
pour r < 1 la série converge (3)

nécessairement R>=1

car sinon on aurait R<1 et alors on pourrait prendre r0 ainsi R
et la série en r0 convergerait d'après (3) ce qui contredit (2)

de même si tu montres que
pour r > 1 la série diverge
alors nécessairement R =<1

les rêgle de cauchy et d'alembert nécessitent que racine nième de a(n) et
a(n+1) /a(n) aient une limite ce qui ne va pas ici à cause de sin (n)

[barbu23]

Merci "fahr451", c'est très clair maintenant !! :++:

[barbu23]

oui, mais il y'a un truc que je comprends pas :
Pourquoi : la serie converge !
Est ce que vous pouvez m'expliquer pourquoi ?!
Merci d'avance !!

[fahr451]

bonsoir


ce n'est pas ça

mais il ya une autre propriété de R

r< R le terme général an r^n tend vers 0

r> R le terme général ne tend pas vers 0

donc si tu montres que

pour r0 le terme général tend vers 0 alors nécessairement R>=r0

[barbu23]

Merci pour ces precisions "fahr451" !!
Est ce que tu peux me fournie la demonstration de la propriété :
r< R le terme général an r^n tend vers 0.
J'ai cherché dans mon cours, mais j'ai pas trouvé !!
Merci infiniment !!

[fahr451]

pour
0
la bonne définition initiale de R est


R=sup { r positif tel que la suite a(n) r^n bornée}
on montre que R

R = sup{r positif , la suite a(n)r^n tend vers 0}

et R= sup { r positif , la série a(n) r^n converge}