Série entière

[Alpha]

Bonjour,

j'ai la suite définie par , et ,

et je m'intéresse au domaine de définition dans R de la série entière formée par les .

On voit rapidement que le rayon de convergence est 1, ensuite viennent les questions de convergence au bord : en -1 c'est bon, série alternée etc..., mais en 1, comment montrer s'il y a ou non convergence? Je n'ai pas trouvé comment faire.

Merci d'avance pour votre aide.

[kazeriahm]

a_n tend vers 0 comme tu l'as surement montré.

On peut trouver un équivalent de a_n quand n tend vers l'infini en trouvant un équivalent de

a_n+1^b-a_n^b ou b est un réel à déterminer pour que cet équuivalent soit non nul, puis par sommation des relations de comparaison, on en déduit un équivalent de a_n.

[Alpha]

Oui, j'avais bien sûr montré que a_n tend vers 0, c'était la première chose à faire.

Merci pour ton indication, je vais l'examiner. :we:

[kazeriahm]

ici je trouve que pour b=-1, a_n+1^b-a_n^b équivaut à 1/2 en plus l'infini.

Les deux suites sont positives donc en sommant de k=0 à n-1 il vient 1/a_n équivaut à n/2 donc a_n équivaut à 2/n.

Si je ne me suis pas trompé....

[Alpha]

Ok merci je vais vérifier ça :++:

[kazeriahm]

et de manière plus générale si (u_n) est une suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un), et u_n converge vers l réel, tu peux trouver un équivalent de u_n en t'interessant à

(u_n+1-l)^b-(u_n-l)^b avec b à ajuster encore...

[sarmate]

Peut-être vais-je dire une erreur, mais il me semble que si



alors la règle de d'Alembert nous dit que la série diverge.

Ici n'est-ce pas le cas, puisque pour tout x>0 ln(1+x)>x et puisque (an) cv vers 0, ln(1+an)/an tend vers 1...

[kazeriahm]

bah non on ne sait pas ce qui se passe au bord du domaine de convergence...

[yos]

Bonjour.
Je trouve que
(par récurrence).
J'ai pas vu plus simple.

[fahr451]

bonjour

kazeriahm a tout bien dit , c'est une méthode classique vue souvent comme application de Césaro ("avant" donc les séries équivalentes)

[Alpha]

Oui, j'ai depuis fait les calculs, c'est bien ça, merci bien à kazeriahm.

Je ne connaissais pas cette méthode, mais après coup, elle est très intuitive! (enfin, je connaissais la méthode consistant à trouver un équivalent de a_(n+1) - a_n, mais je n'avais jamais pensé à chercher plus généralement un équivalent de a_(n+1)^b - a_n^b, ce qui est bien mieux puisque ça permet d'ajuster pour virer les termes en a_n)