Série entière

[daisuke]

Bonjour

L'exercice consiste à développer la fonction f en série entière, mais je n'arrive pas sur cette fonction qui est

f(x)=exp(-x²) int(exp(t²)dt) avec l'intégrale allant de 0 à x

Pourriez vous me donner un coup de main s'il vous plait?
Merci d'avance

[Joker62]

Part de ça :

[fahr451]

bonjour

ce que dit joker est bien mais il faudra faire un produit de cauchy de séries entières

une autre idée est d'établir une équa diff vérifiée par f et d'en déduire le dse de f , plus agréable je pense.

[daisuke]

j'ai pensé à faire la même chose que toi fahr451

cependant je bloque un peu sur ce point

[fahr451]

dis ce que tu as fait et dis où tu bloques

[serge75]

La méthode de fahr est la bonne et aboutit (je l'ai déjà fait cet exo).

[fahr451]

La méthode de fahr est la bonne et aboutit (je l'ai déjà fait cet exo).

moi aussi en 1919 juste après ma démobilisation

[Joker62]

Ui en effet beaucoup plus efficace :D

Sympa aussi cette histoire de démobilisation :p

[daisuke]

dis ce que tu as fait et dis où tu bloques

ba voici ce que j'ai fait pour le moment

je dérive la fonction f ce qui me donne
f'(x)= -2x exp(-x²) int(exp(t²)dt) + exp(-x²) (exp(x²)-0)
d'où f'(x)=-2x f(x)+1

Ensuite je suppose qu'il existe un g DSE satisfaisant l'équation du dessus et tel que g(0)=0
Soit pour tout x appartenant à I, g(x)= Sum(An.x^n), Sum allant de 0 à + l'infini

Je substitue f de l'équation à g et donc j'ai
Sum(n.An.x^(n-1))=-2x.Sum(An x^n)+1
D'où Sum(n.An.x^(n-1))+2x.Sum(An x^n)-1=0

De là je ne sais plus quoi faire

[kazeriahm]

le développement d'une fonction en série entière est unique donc après avoir fait un changement d'indice dans l'une de tes deux sommes (pour avoir du x^n dans les deux sommes et tout mettre sous la forme d'une seule somme), tu pourra identifier avec le développement de la fonction nulle

[daisuke]

dans ce cas si je comprends bien on a

Sum(n.An.x^(n-1))+2x.Sum(An x^n)-1=
d'où Sum( ((n+1).A(n+1)+2.A(n-1)).x^n)=0

Donc par unicité du DSE on a
(n+1).A(n+1)+2.A(n-1)=0
De plus g(0)=0 donc A(0)=0

Donc on aura bien f(x)=g(x)=Sum(An.x^n)

Or A(0)=0 et A(1)=1, et pour tout n>1
On doit maintenant chercher à calculer An c'est ça??

de (n+1).A(n+1)+2.A(n-1)=0
j'en déduis que An=-2.A(n-2)/n