Série entière

[sandrine_guillerme]

Bonjour ,

j'ai un grand souci avec une série entière ..pour calculer le calcul du rayon de convergence, j'ai essayer de faire le développement limité mais je m'en sors pas du tout,
j'ai fais Cauchy mais je m'en sors pas non plus ..
d'Alembert je m'en sors pas non plus ..
mais elle est pas du tout accessible .
:triste:
voila la fameuse série en question ..

[([racine nieme(n)]-[racine nieme+1(n+1)])z^n]

Je vous pris de m'aider s'il vous plaît ..

Cordialement.

[Quidam]

Bonjour ,

j'ai un grand souci avec une série entière ..pour calculer le calcul du rayon de convergence, j'ai essayer de faire le développement limité mais je m'en sors pas du tout,
j'ai fais Cauchy mais je m'en sors pas non plus ..
d'Alembert je m'en sors pas non plus ..
mais elle est pas du tout accessible .
:triste:
voila la fameuse série en question ..

[([racine nieme(n)]-[racine nieme+1(n+1)])z^n]

Je vous pris de m'aider s'il vous plaît ..

Cordialement.

Histoire de ne pas partir du mauvais côté...veux-tu confirmer qu'il s'agit bien de la série :

ou, plus clairement :

[Epsilon]

je trouve R=1

[sandrine_guillerme]

QUIDAM tu as raison .. au niveau de l'écriture ..


mas je ne vois pas du tout comment tu as fais Epsilon/
Aidez moi svp..!

[manelle]

Bonjour ,

j'ai un grand souci avec une série entière ..pour calculer le calcul du rayon de convergence, j'ai essayer de faire le développement limité mais je m'en sors pas du tout,
j'ai fais Cauchy mais je m'en sors pas non plus ..
d'Alembert je m'en sors pas non plus ..
mais elle est pas du tout accessible .
:triste:
voila la fameuse série en question ..

[([racine nieme(n)]-[racine nieme+1(n+1)])z^n]

Je vous pris de m'aider s'il vous plaît ..

Cordialement.

Bien souvent , il suffit de regarder z=1 pour avoir une première idée :
ici la série télescopique est clairement convergente donc R est au moins égal à 1 . Ensuite il est facile de vérifier que la série diverge pour z=-1 donc R est au plus égal à 1...

[Epsilon]

j'ai calculé la limite (n--->+infini) de
module(an+1/an) par WIMS (logiciels)

[sandrine_guillerme]

Bien souvent , il suffit de regarder z=1 pour avoir une première idée :
ici la série télescopique est clairement convergente donc R est au moins égal à 1 . Ensuite il est facile de vérifier que la série diverge pour z=-1 donc R est au plus égal à 1...

autant dire ,j'ai jamais vu cette méthode .. donc si tu pourrais mieux l'expliquer plus clairement stp ?

mais sinon est ce qu'il y aurait quelqu'un qui pourrait essaiyer d'Alembert.. si sa marche et parquoi il faut factoriser pour enlever la détermination ?

merci d'avance .

[manelle]

autant dire ,j'ai jamais vu cette méthode .. donc si tu pourrais mieux l'expliquer plus clairement stp ?


mais sinon est ce qu'il y aurait quelqu'un qui pourrait essaiyer d'Alembert.. si sa marche et parquoi il faut factoriser pour enlever la détermination ?

merci d'avance .

Dans le cours des séries entières , il y a un théorème qui éclaire tout : c'est le lemme d'Abel .
Donc dès qu'il y a convergence pour un z , on peut assurer que le rayon de convergence est au moins égal à module(z) .
De même s'il y a divergence pour un z , on peut assurer que le rayon de convergence est au plus égal à module(z) .
C'est important d'avoir compris cela sinon on ne voit pas la puissance des séries entières .

[Quidam]

Avec ta confirmation de la forumle, je trouve moi aussi R=1, en calculant simplement la limite de ; pas tout à fait immédiat, mais sans difficulté particulière !

[sandrine_guillerme]

merci à vous tous ..

mais QUIDAM quand tu a fais U_n+1 /U_n tu tombe sur une forme indéterminée de la forme 0/0 .. tu factorise par quoi stp?

[Edit] : j'aurais bien aimé que tu me donne les grandes lignes du calcul .

[Quidam]

merci à vous tous ..

mais QUIDAM quand tu a fais U_n+1 /U_n tu tombe sur une forme indéterminée de la forme 0/0 .. tu factorise par quoi stp?

[Edit] : j'aurais bien aimé que tu me donne les grandes lignes du calcul .

Ou là ! Tu veux des preuves...!

Ben je vais essayer, mais j'ai un peu oublié moi !


Je divise numérateur et dénominateur par




et donc

Je montre de même que :

Par conséquent, le numérateur est équivalent à :


Même chose pour le dénominateur qui est aussi équivalent à
Par conséquent, le rapport : tend vers 1 !
et :


Sauf erreur, bien sûr !

[sandrine_guillerme]

c'est vraiment adorable de ta part QUIDAM,

je te remercie vraiment et je te souhaite une très bonne fin de journée.

[sandrine_guillerme]

Re bonsoir tout le monde,
je me permes de remonter ce post parceque ça fais plus de 5 fois que je refais le calcul .. mais je cale complètement si vous pourrez m'expliquer ce passage là :
Par conséquent, le numérateur est équivalent à :

Par conséquent, le rapport : tend vers 1 !
et :


Sauf erreur, bien sûr !

c'est surtout pourquoi ce par consèquent moi je ne vois pas le rapport aidez moi svp !

[yos]

Juste au dessus il dit que numérateur et dénominateur sont équivalents à la même chose.
Je pense aussi que la règle de D'Alembert est une mauvaise idée dans ce cas.

[sandrine_guillerme]

c'est vrai qu'en remarquant que pour z=1 on en déduit que le R=1

mais je souhaite savoir pourquoi j'arrive pas a a même chose c'est que je ne vois pas pourquoi le numérateur serait équivalent à ce qui était dit .. ni le dénominateur d'ailleurs

Aide moi stp a retrouver mon bonheur ..

[yos]

et de même en remplaçant n par n+1, tu as :
.
Ensuite tu soustrais les deux égalités et tu obtiens :
.
En décomposant en , tu peux réduire l'expression .

[sandrine_guillerme]

oulaaaaaaaaaaaaa :triste: :triste: :triste: :triste: :triste: :cry:

je suis trop perdue là .. ce que tu viens de faire est totelement different de ce qu'a fais QUIDAM ! et c'estce que j'avais fais au tout début la mais avec ça on peut jamais s'en sortir car on obtient une forme indéterminée .. aide moi a rassembler les fils stp !!!!!!!!!!!!!!!!

[yos]

.
et le second terme est négligeable devant le premier. D'où l'équivalent annoncé par Quidam. A partir de là le rayon de convergence est immédiat mais si tu tiens à D'Alembert, il suffit de recopier le résultat qu'on vient de trouver en remplaçant n par n+1 pour obtenir un équivalent du dénominateur.
Puis de faire le quotient des deux expressions :
à diviser par .
C'est pas une forme indéterminée. Ca tend vers 1.

[sandrine_guillerme]

ah oui quoique .. :we:

je pourrais enfin dormir tranquillement .. merci beaucoup.

[Quidam]

Merci Yos, d'avoir pris le relais !