Serie entière

[barbu23]

Bonjour à tous, :happy3:

Dans un livre d'analyse complexe, je lis la chose suivante :

Soit une suite de nombres complexes. On définit le nombre par : , alors, la série entière converge absolument sur le disque : .

Pouvez vous m'expliquer comment on calcule concrètement le plus souvent en s'appuyant sur quelques exemples de niveau de difficultés différents ?

Merci d'avance.

[zork]

lorsque la série série entière est de la forme:
, tu regardes le quotient ou bien tu utilises le critère de Cauchy. dans tous les cas tu as R=1/A
Si aucun des deux critères précédents ne marche tu utilises le critère d'Hadamard (c'est celui que tu donnes)
Un exemple: Pour calculer le rayon de convergence de la série entière , les deux critères donnés avant ne marche pas et si tu utilises celui d'Hadamard tu trouves que le rayon de convergence est 1

[barbu23]

Merci zork. :lol3:
Peux tu m'expliquer comment tu calcules : avec : ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Un exemple: Pour calculer le rayon de convergence de la série entière , les deux critères donnés avant ne marchent pas et si tu utilises celui d'Hadamard tu trouves que le rayon de convergence est 1

Ah bon ????
Pourtant

[barbu23]

Pourrait-on appliquer la méthode d'Hadamard invoqué par zork pour calculer le rayon de convergence R de la série proposée par zork sans passer par D'Alembert et Cauchy ?
Merci d'avance à vous tous. :happy3:

[zork]

je me suis trompé on n'est pas obligé d'utiliser le critère d'Hadamard.
Par contre si j'ai une série à trou on est obligé d'utilisé Hadamard
Par exemple si je prend de rayon R non nul. Pour trouver le rayon de on passe par Hadamard ce qui donne comme rayon

[barbu23]

Par exemple : , comment calculer à l'aide du critère d'Hadamard ?
Merci d'avance.

[Ben314]

Par contre si j'ai une série à trou on est obligé d'utilisé Hadamard
Par exemple si je prend de rayon R non nul. Pour trouver le rayon de on passe par Hadamard ce qui donne comme rayon

O.K. sur le principe pour certaines séries "à trou", mais là, si tu utiliser Hadamard, tu passe franchement pour un con :
Tu sait que est C.V. pour tout |z|R.
Donc tu sait (sans aucun calculs) que est C.V. pour |z²|R ce qui prouve (sans aucun calculs) que le rayon de C.V. de la série est .

Pour avoir vraiment besoin d'utiliser la limite sup, il faut des séries "à trou", dont les trous ne sont pas "régulièrement espacés" (sinon on s'en sort avec un changement de variable) et où le rayon de C.V. ne "saute pas aux yeux", i.e. où les coeffs. tendent super vite vers 0 ou +oo.

[barbu23]

Re - Bonsoir, :happy3:

Pourriez vous m'expliquer la démarche à suivre pour calculer la limite sup et la limite inf d'une suite quelconque ? Et dans quel cas le calcul de ces limites sup et inf est interéssant ?

Merci d'avance.