Serie de bertrand

[nemesis]

salut
comment pourais-je demontrer la nature de cette serie (en l'occurence les serie de Bertrand) pour x et y dans R on a 1/((n^x) * ((log n)^y))
pour le cas x=y=1 j'ai comparer a une integral et c'est bon mais pour la suite je ne sais plus.si quelqu'un le sait ..........
merci

[fahr451]

dans tous les cas on compare avec une intégrale

[fahr451]

ds le cas où x est différent de 1 la nature s'obtient en comparant avec une série de riemann bien choisie on trouve cv ssi x>1

pour x = 1 on compare avec l 'intégrale et on trouve cv ssi y>1

[nemesis]

et pour y quelle cas on a et quelle solution

[fahr451]

y n 'intervient que si x = 1

si x>1 cv pour tout y

si x<1 div pour tout y
x= 1 cv ssi y >1

[nemesis]

oui mais comment montrer tout ca

[fahr451]

si a >1 on prend a' tel que 1 < a' < a alors

1/[n^a (ln n)^b] = 0 ( 1/n^a') d'où convergence

si a <1 on prend a' tel que a
1/n^a' = 0 1/[ n^a(ln n) ^b] d'où divergence

pour a = 1 f( t) = 1/[t(ln t )^b] est positive décroissance sur [e,+inf]

donc série et intégrale impropre sont d e même nature et le changement de variable u = ln t ramène à l 'intégrale de 1/u^b qui cv ssi b >1