Separable/ Extension

[Davidmaths]

Bonjour,

J'ai un petit exercice qui me pose problème.

Soit un corps de caractéristique p .

Soient et séparable et

1) Dire que vaut et montrer que est produit de r extensions finies de K et que est K_linéaire (je rappelle c'est l'application tel que (p premier et A un anneau commutatif de caractéristique p)

Soit
2) Montrer que

3) Montrer que si est tel que et alors

1) donc

Je ne vois pas comment montrer que est produit de r extensions finies de K
J'ai réussi à montrer que tel que est K-linéaire.

2) Pour montrer que je pensais montrer que si est une extension finie et , on a
Soit c'est à dire que mais après je ne sais pas montrer pourquoi

3) Je n'ai réellement pas de piste

Je vous en remercie d'avance,

Cordialement

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Ça commence très bizarrement. Le corps K est de caractéristique 0 et égal à Z/pZ ??

[Davidmaths]

Non excusez-moi de K est de caractéristique p je me suis emmêlé. J'ai modifié.

[GaBuZoMeu]

Un corps de caractéristique p n'est pas forcément égal à Z/pZ.
Ensuite, même si K=Z/pZ, que veut dire ton dim(K)=p ?
La dimension qu'on te demande, c'est la dimension de A comme K-espace vectoriel.. Ceci n'utilise pas le fait que le polynôme P est séparable.
Si P est séparable, que peux-tu dire de sa décomposition en produit de facteurs irréductibles ?

[Davidmaths]

Oui c'est vrai !

Pour moi, mais je pense donc dire que peut-être
Oui mais je ne vois pas la dimension de A. Parce qu'une base de est de dimension infinie. Et P est un polynôme séparable a un degré fini.
Si P est séparable par définition alors ses racines sont simples.
C'est à dire si P est séparable alors

[GaBuZoMeu]

On ne te demande pas la dilmension de K[X], mais celle de K[X]/(P). Si P est de degré n, ne connais-tu pas une base du quotient ?
Qui sont les ? Je le devine, mais je ne veux pas jouer aux devinettes. À toi d'être explicite.

[Davidmaths]

Pardonnez-moi vous avez raison je n'ai pas explicité


Une base du quotient est
donc (Le degré du polynôme non nul de degré n)

Pour montrer que est produit de r extensions finies de :
on sait d'après un corollaire que est un corps et donc de dimension finie.
Je ne sais pas si cela es suffisant comme explication

[GaBuZoMeu]

OK pour la dimension de A.
A n'est pas un corps en général. À quelle condition sur P l'algèbre K[X]/(P) est-elle un corps ?

[Davidmaths]

Oui il faut que soit un polynôme non nul de et irréductible dans
Donc je pense il faut donc montrer que est irréductible dans

On pose
On sait que est séparable c'est à dire c'est à dire est sans facteur carré

De plus, soit sa décomposition en facteur irréductible dans . est séparable sur alors chaque l'est aussi.
Mais je ne vois pas comment montrer après que P est irréductible

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que non, P n'a aucune raison d'être irréductible !
Mais ce qu'on te demande de montrer, ce n'est pas que K[X]/(P) est un corps. On te demande de montrer que K[X]/(P) est un PRODUIT de corps.

[Davidmaths]

C'est-à-dire il faut que je montre que avec des corps

On sait que K est un corps car p est premier et P est un polynôme de degré n.
Je ne vois pas comment m'y prendre pour trouver les avec

[GaBuZoMeu]

Le théorème des restes chinois, dans ce contexte, ça ne te dit rien ?

[Davidmaths]

D'accord j'essaye :

Soit sa décomposition en facteur irréductible dans .
Le théorème des restes chinois affirme que et est un corps puisque est irréductible.

Donc est produit de corps de et de plus
Donc est produit de extensions finies de

[Davidmaths]

Bonjour,

Je me permets de faire un petit update parce que je pense avoir trouvé la question suivante.

Soit E= ker(Frob_p - Id_a) \subset A
Précédemment, on a montré que A est un produit de r extensions finies.
E est l'ensemble des racines X^p - X
De plus, L/K est une extension finie donc L est un corps alors il y a au plus p racines.
Les éléments de K \subset L sont de telles racines donc E=K et E est un sous K-espace vectoriel de L dimension 1.

x \in E si et seulement si x^p=x si et seulement si x \in K d'après ce qui précède
Donc E= K. K .... .K
Donc dim_K(E)=r

N'hésitez pas à me dire s'il y a une erreur
Je suis désolé, quand je veux mettre sous LaTex certaines expressions bugs

[GaBuZoMeu]

Oui, visiblement LaTeX s'est mis à bugger sur le forum.

J'ai du mal à lire ce que tu as écrit, mais j'ai l'impression que tu es bien parti.

[Davidmaths]

En fait, j'ai voulu d'abord montrer que si L est un corps (et s'en est un car L/K est une extension finie), alors E := ker(Frob_p −IdA) est un sous-K-espace vectoriel de L de dimension 1.
Pour montrer que A = B_1 × · · · B_n (produit de r corps montré à la question précédente), alors E := ker(Frob_p −IdA) est un sous-K-espace vectoriel de A de dimension r.

Mais je ne sais pas si j'ai bien montré que qu'on a Frob_L(x)=x si et seulement si x \in K (comme il est demandé)