Extension séparable

par **rain** » 18 Oct 2009, 15:55

Bonjour j'essaie de démontrer que si K est un corps et a un élément séparable sur K, alors K(a) est une extension séparable.Quelqu'un a une idée?

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 16:01

Salut !

Je vais peut être dire une bêtise mais quelle est ta définition d'un élément séparable?

Pour moi, ce que tu essayes de montrer est la définition : Un élément est séparable sur un corps k si l'extension de k engendrée par l'élément est séparable !

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 16:03

Si P est le polynôme minimal de a alors le polynôme minimal de ca+d, (c,d) dans K est

Q(X)=P((X-d)/c) qui est séparé.

Edit : @nightmare : Je crois que la déf c'est juste que le polynôme minimal est séparé. IL y a équivalence grâce au thm de l'élément primitif que notre ami veut démontrer.

par **rain** » 18 Oct 2009, 16:06

En faite ma définition d'un elt séparable c'est juste être racine d'un polynome séparable.

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 16:10

Finrod a écrit:Si P est le polynôme minimal de a alors le polynôme minimal de ca+d, (c,d) dans K est

Q(X)=P((X-d)/c) qui est séparé.

Edit : @nightmare : Je crois que la déf c'est juste que le polynôme minimal est séparé. IL y a équivalence grâce au thm de l'élément primitif que notre ami veut démontrer.

Ok, je ne connaissais pas cette définition (d'un côté rien d'étonnant, je suis loin d'être un expert en algèbre

)

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 16:20

Nightmare a écrit:Ok, je ne connaissais pas cette définition (d'un côté rien d'étonnant, je suis loin d'être un expert en algèbre )

Je suis rassuré ^^! vu comme tu te débrouille déjà en analyse, tu m'aurais fait complexer.

par **yos** » 18 Oct 2009, 16:29

Attention : les éléments de K(a) sont des polynômes en a (pas nécessairement de degré 1 car rien ne dit que le degré de K(a) sur K est 2).
il faudrait donc regarder le polynôme minimal de Q(a), ce qui peut être fastidieux. Il y a des théorèmes qui permettent de trancher là-dedans. Voir ce que tu as sur la séparabilité.

par **rain** » 18 Oct 2009, 16:34

Et si je dit que comme a est séparable sur K, Irr(a,K) posséde n(=deg(Irr(a,K))) racines distincts dans son corps des racines. Il faut dire ensuite que K(a) est ce corps des racines, et là je sais pas comment faire. Je pense qu'il faut dire que K(a) est Galoisienne, mais je vois pas pourquoi.
Donc voila j'arrive pas à faire le lien entre Irr(a,K) a n racines distinct dans son corps des racines, et K(a) Galoisienne, car je vois pas pourquoi K(a) serait ce corps des racines.

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 16:37

En effet, j'avais

en tête. j'ai honte.

je crois que ça c'est une preuve : http://www.les-mathematiques.net/b/b/f/node3.php3

par **yos** » 18 Oct 2009, 17:05

rain a écrit: Il faut dire ensuite que K(a) est ce corps des racines, et là je sais pas comment faire. Je pense qu'il faut dire que K(a) est Galoisienne, mais je vois pas pourquoi.

Non : pas de raison qu'elle soit galoisienne.

J'ai aussi une définition à la Nightmare en tête et j'ai un peu de mal à faire le lien avec ton point de vue. Connais-tu la notion d'éléments conjugués de a ? Il s'agit des n racines de Irr(a,K). Elles définissent des isomorphismes

de K(a) dans d'autres corps (dans K(a) lui-même dans le cas galoisien, dans d'autres en général). Ce qui compte, c'est que les n conjugués sont tous distincts (séparabilité de a sur K). On doit pouvoir en déduire que les n conjugués des Q(a) (qui sont les

puisque les

sont des morphismes) sont tous distincts;

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 17:20

Le degrés de Q(a) n'est pas nécessairement n. ça pourrait poser problème non ?

Je me demande si n ne peux pas directement dire que K(Q(a)) est une sous-extension de K(a) et est donc séparable. (par l'absurde, ça me semble marcher, mais c'est loin derrière moi alors je n'ai aucune certitude)

edit ah non on ne sait pas que l'extension est sep. mais bon c un debut d idee

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 17:30

Resalut à tous !

Alors voici ce que j'ai avec votre définition :

On suppose que a est séparable, ie le polynôme minimal de a admet n=[K(a):K] racines.

Il me faut démontrer que le degré de séparabilité de K(a) sur K vaut n.

Or, en prenant X une clôture algébrique normale de K(a), le degré de séparabilité de K(a) sur K est égal au nombre de K-isomorphismes

or cet ensemble est équipotent à l'ensemble des racines du polynôme minimal (par la bijection

)

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 18:37

Ca vous semble tenir la route?

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 18:42

ça marche, néanmoins j'aimerai savoir si la caractérisation que tu utilises d'extension séparable n'est pas justement une conséquence du théorème de l'élément primitif que l'on essai en fait de démontrer.

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 18:51

Pour le coup c'est encore celle que j'ai dans mon cours : Une extension F sur K est dite séparable si son degré est égal au nombres de K-isomorphisme de F dans une clôture algébrique normale de F (ayant préalablement montré que ce nombre ne dépend pas de la clôture)

par **Finrod** » 18 Oct 2009, 18:57

T'as raison.

Dans le lien que j'avais mis page précédente, ils font comme ça.

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