Second degré - complexes

[Charmander]

Bonjour,

Soit et
Je cherche une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que l'équation
ait deux racines de module 1.
J'ai pour indication de considérer le quotient

J'ai essayé de remonter le calcul, en supposant que a,b ait deux racines de module 1, l'équation devient je développe puis j'identifie, mais je ne peux pas vraiment conclure sur a et b, et puis je ne vois pas comment faire l'implication dans l'autre sens ni à quoi sert

Si quelqu'un pouvait m'aider, merci !

[Doraki]

Donc quand tu exprimes a²/b en fonction de ;) et ;), tu obtiens ... ?

[Charmander]

Donc quand tu exprimes a²/b en fonction de et , tu obtiens ... ?

J'ai

[Charmander]

Je dois en conclure que le quotient a^2/b > -4 ?
En fait, ca depend de la différence
Je ne vois pas utiliser ce resultat dans l'implcation reciproque...

[Doraki]

Tu en déduis que a²/b est un réel entre -4 et 0. C'est pas rien puisque au début on sait juste que a²/b est un complexe quelconque.

Si tu connais a²/b tu connais donc sin²(;)-;)), soit l'angle non orienté entre les deux complexes.


Maintenant tu peux dire quoi à propos de b ?

[Ben314]

Y'a une p'tite erreur de calcul : moi, j'en connais une équation pas trop compliquée avec 2 racines de module 1 : c'est x²-2x+1=0.
Et là, a²/b, ça fait +4 qui est pas trop dans [-4,0]...

[Charmander]

Y'a une p'tite erreur de calcul : moi, j'en connais une équation pas trop compliquée avec 2 racines de module 1 : c'est x²-2x+1=0.
Et là, a²/b, ça fait +4 qui est pas trop dans [-4,0]...

Ah oui en effet, c'est plutôt

[Charmander]

Donc, , on a, cad

[Charmander]

Reciproquement, on a \delta = a^2 - 4b < 0
On a alors deux racines complexes conjuguées.
Mais comment prouver qu'ils sont dans ce cas de module 1 ?

[Charmander]

Reciproquement, on a \delta = a^2 - 4b < 0
On a alors deux racines complexes conjuguées.
Mais comment prouver qu'ils sont dans ce cas de module 1 ?

Parce que quand j'explicite les deux racines complexes et que je calcule leur module, je me retrouve avec par exemple avec mais comme a n'est pas forcément réel, c'est compliqué à calculer..

[chan79]

Salut
juste une remarque
s'il y a deux racines de module 1, leur produit b est de module 1
exemple
z²-iz-1=0

[Doraki]

Donc, , on a, cad

L'inégalité entre des complexes ça ne veut strictement rien dire.

Le truc que tu as montré c'est "a²/b est un nombre réel compris entre 0 et 4"
ce qui n'a rien à voir avec ce que tu fais après, par exemple ça n'implique absolument pas que a²-4b est un nombre réel négatif, comme tu as l'air de le croire.

[chan79]

on peut s'aider de l'interprétation géométrique
si les deux racines de z²+az+b=0 ont comme module 1, leur produit aussi donc il est nécessaire de |b|=1
si z est une racine, z²+az=-b donc |z|*|z+a|=1 soit |z+a|=1
les points ayant comme affixes les racines sont sur le cercle de centre O et de rayon 1 et sur le cercle centré au point d'affixe -a et de rayon 1.
Il est donc nécessaire que |a|<=4
On trouve que b est donné par la relation b=(a/|a|)²
La condition est donc b=(a/|a|)² et |a|<=4 (à vérifier...)

quelques exemples simples:
z²+2z+1=0
z²+iz-1=0
z²+(1+i)z+i=0
z²-iz-1=0