Retrouver formule volume cône via intégrale

[Arachi]

Bonjour,

par curiosité, j'aurais souhaité retrouver la formule de calcul du volume d'un cône à partir d'une aire.

Il y a cependant deux approches, si je ne m'abuse :
- c'est une somme d'aires infinitésimales de disques, de 0 à z.
- c'est une somme d'aires infinitésimales de triangles rectangles de 0 à 2pi.

C'est le deuxième cas qui me pose problème, peut-être pourriez-vous m'aider ? Pour aider à visualiser où se trouve ce(s) triangle(s) rectangle(s) avec un cône de hauteur H et de rayon à la base R, on aurait :
H^2+R^2= (longueur de la droite partant du sommet du cône jusqu'à la base du cône)^2.

Merci

[lyceen95]

Je t'invite à faire un petit exercice.
Tu as un triangle rectangle (celui que tu décris dans ton message).
On a la base de ce triangle AC (horizontale), et sa hauteur AB (verticale)
Un cône, c'est le volume obtenu en faisant tourner ce triangle autour de sa hauteur AB.
Ok.
Maintenant, au lieu de faire tourner le triangle autour de sa hauteur, faisons tourner le triangle autour de l'autre axe vertical, la verticale passant par C.
On obtient un volume, une espèce de coupelle pour donner à manger à son chien.
Quel est le volume balayé par ce triangle ?
- par un raisonnement simple : c'est un cylindre moins le cône de la première question : facile.
- en calculant une intégrale avec des coupes horizontales : facile
- en calculant une intégrale avec la somme des triangles : galère.

Ca ne va pas te donner la réponse à ta question, mais ça va te faire visualiser pourquoi ça ne marche pas : le même triangle, quand on le fait tourner autour d'un axe ou autour de l'autre axe, il ne balaye pas le même volume.

Essaye déjà de faire ça, sans lire la suite. (je sais , la tentation est forte, donc je mets en blanc sur fond blanc).

Au final, il y a un résultat qui a été démontré, mais que tu n'as pas le droit d'utiliser, parce qu'on ne l'apprend pas en cours.
1. On prend le centre de gravité du triangle.
2. Quand on fait tourner le triangle, le centre de gravité parcourt une certaine distance (plus courte dans le cas du cône que dans le cas du 2ème exemple que j'ai donné). Ce parcours est un cercle, mais on pourrait imaginer que c'est une portion de droite, perpendiculaire au plan du triangle.
3. Le volume obtenu est le volume du parallélépipède obtenu en faisant glisser le triangle sur cette portion de droite.

[Arachi]

merci beaucoup pour ton aide, cependant, je crois qu'il me manque encore quelque chose car je n'arrive pas au bon résultat.

D'après ton explication, on a un parallélépipède de base rectangle (aire H*R/2) qui parcourt une distance totale normalement égale à 2*pi*R (périmètre du cercle du cône) ou bien, pour un volume infinitésimal 2*pi*dR.

En intégrant de 0 à R

(H*pi)*int[0 à R]RdR --> (pi*H*R^2)/2

La véritable formule est : (pi*H*R^2)/3, mais je ne vois pas ce qui cloche ?