Domaine de définition d'une fonction définie via une intégra

[chnafon]

Bonsoir,

je suis confronté dans mon cours à l'étude des "intégrales dépendant d'un paramètre", du type G(x) = f(x,t).dt sur un ensemble I, t appartient à I.

Se pose donc la question de leurs domaines de définition. je pensais de prime abord qu'il s'agissait de l'ensemble des x tels que f(x,t) est intégrable par rapport à t sur I. Et patatras, dans mon cours on parle de G(x) = (sint)/(x+t) sur I = [0, +oo[ qui n'est PAS intégrale sur I.. Pourtant G est définie sur R+*, toujours selon mon cours. En effet, une IPP montre que, puisque la fonction t -> (1-cost)/(x+t)² étant elle tout a fait intégrable sur R+, G(x) = (1-cost)/(x+t)².dt sur [0, +oo[

Je suis un peu perdu: le domaine de définition de G(x) est-il l'ensemble des x tel que l'intégrale qui la définit CONVERGE ou bien l'ensemble des x tels que t -> f(x,t) est INTEGRABLE ?(Petit rappel surement inutile mais sait-on jamais, on peut avoir le premier sans le second; exemple typique: (sint/t)dt sur I = [0, +oo)

[deltab]

Bonsoir.

Revois les définition de: intégrale convergente et fonction intégrable. Tu es sûrement en train de confondre le paramètre x avec la variable d'intégration t. Le domaine où doit varier x est à déterminer, alors que , intervalle d'intégration.
Si j'ai bien compris, tu te poses 2 problèmes différents.
1) Le domaine de définition de , (c'est le domaine de convergence simple de ).
2) La convergence (ou l'existence) de l'intégrale .

[chnafon]

Bonsoir.

Revois les définition de: intégrale convergente et fonction intégrable. Tu es sûrement en train de confondre le paramètre x avec la variable d'intégration t. Le domaine où doit varier x est à déterminer, alors que , intervalle d'intégration.
Si j'ai bien compris, tu te poses 2 problèmes différents.
1) Le domaine de définition de , (c'est le domaine de convergence simple de ).
2) La convergence (ou l'existence) de l'intégrale .

Non, les définitions d'intégrale convergentes et fonctions intégrables sont claires pour moi, je donne d'ailleurs un exemple à la fin.
Je vais le reprendre afin d'être plus clair. Prenons f(x,t) = xsint/t et avec I = [0, +oo[. en x=1, f(1,t) n'est pas intégrable, mais converge. Mais question est alors: G(x) est-elle définie en x=1 ? Mais tu sembles y avoir répondu dans le 1).

[deltab]

Bonsoir.
Si tu prends l'intégrale au sens de Riemann, il n'y a pas lieu de parler d'intégrabilité sur un intervalle non borné. Les intégrales impropres sont une généralisation de l'intégrale de Riemann mais ne sont pas des intégrales au sens de Riemann.
Si tu prend l'intégrabilité au sens de Lebesgue, seules les intégrales impropres absolument convergentes de fonctions donnent des fonctions intégrables au sens de Lebesgue.
Dire par exemple qu'une fonction est intégrable à l'infini en dehors de l'intégrale de Lebesgue est un abus de langage pour dire que l'intégrale impropre converge.