Résoudre une équation ...

[MacErmite]

Bonsoir,

Pouvez-vous me dire comment résoudre cette équation :



Une idée pour démarrer ?


:marteau:

Merci

[greg78]

Je ne suis pas sûr de bien lire ton equation.

Est-ce que toute l'expression est dans l'exponentielle ? Si oui, il n'y a pas de solution.
Sinon, on peut se passer du terme exp(arctanx), qui n'est jamais nul. On peut se passer du dénominateur de la grande fraction, qui n'est lui non plus jamais nul, en supposant qu'on travaille sur le corps des réels.
Il ne reste finalement qu'une equation polynomiale du troisième degré à résoudre, avec en prime 1 comme racine évidente, donc un polynome du second degré, qui donnera au plus 2 racines

[MacErmite]

En effet je me rends compte que je suis allé un peut vite sur ce post. Je cherche à isoler les solutions pour tous x :

j'avais bien : mais je suis coincé à cette étape.

[sniperamine]

Il ne reste finalement qu'une equation polynomiale du troisième degré à résoudre, avec en prime 1 comme racine évidente, donc un polynome du second degré, qui donnera au plus 2 racines

1 est une solution évidente es tu sûr ?

[mathelot]

bonjour,

on peut poser
calculer et
dresser le tableau des variations de

[Ericovitchi]

Pour la beauté de l'oeil les courbes d'équation avec a variant de -5 à +5

[MacErmite]

Je ne vois pas comment résoudre cette equation en passant par les dérivées, connaître le nombre de racines mais pas plus ... :doh:

[Le_chat]

Alors a vu de nez, avec le graphe qu'a posté Ericovitchi, les solutions sont bien dégueulasses.
PS:Et j'affirme même qu'elles le sont... Pour savoir le nombre de solution c'est plus simple. Tu dérives, et tu regardes quand est ce que la dérivée s'annule. Tu en déduis le tableau de variation, et tu regarde les valeurs des extremas locaux de ta fonction, puis le tvi t'indique le nombre de solution.

[MacErmite]

Je me suis donné a=3, afin de trouver des racines...Mon tableau de varitions m'indique 3 solutions mais je suis toujours incapable de les calculer :doh:

[SlowBrain]

Pardon, l'équation de départ (Cf post initial) est bien exp(arctan(...))=0 ?? Parce que si c'est ça c'est bien plus vite torché (exp(...)=0...!) sinon quelle est vraiment l'équation de départ?

[Ben314]

Salut,
Pour évaluer le nombre de solutions de tu peut aussi réécrire l'équation sous la forme et lire le nombre de solutions dans le tableau de variations de .

Si tu veut l'expression exacte des solutions, il faut utiliser la méthode de Cardan (http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Cardan) sauf que ce n'est pas d'un énorme intérêt, surtout dans le cas de trois racines réélles...

[mathelot]

salut,





admet un minimum en



pour est strictement croissante et admet une unique racine :



qui est la fonction réciproque de

[mathelot]

re-bonjour,

le des formules de Cardan

est une fonction strictement décroissante du paramètre a.
Elle s'annule pour

pour , on obtient trois racines réelles.
pour , on observe une unique racine réelle.

Cette valeur
est le minimum local de la fonction
que l'on doit égaliser à a. (cf Ben314)
pour la valeur limite de a, , deux racines réelles de l'équation sont confondues (racines doubles)

ça se voit:
i) sur le contact de la courbe de avec la droite horizontale
d''équation y=a (tangente horizontale)
ii) sur les formules de Cardan où le
change de signe.

la valeur de a pour laquelle le nombre de racines réelles passe de 1 à 3 est


Les deux racines réelles qui s'évanouissent ensuite, pour
dans le plan complexe, hors de l'axe réel x'ox.

La racine double réelle vaut:

[mathelot]

Dans le cas , les formules de Cardan donnent 3 racines réelles, données par les relations

est le complexe

écrit en coordonnées cartésiennes.

remarquons que l'ordonnée de est positive. On peut donc utiliser un arccos() pour écrire l'argument de

est son conjugué.



en extrayant les racines cubiques de et avec précaution, car
le produit


On obtient comme racines réelles ()

[mathelot]

pour a=28/9, les formules de Cardan se simplifient comme par
enchantement:

[MacErmite]

Merci pour toutes ces réponses, je vais pouvoir revoir tout cela.

[mathelot]

re-bonsoir,

La remarque de Ben314 me parait finalement fondamentale:
En traçant le graphe de cette fameuse fonction ,
on observe les aspects suivants:

i) on regarde le minimum local de
atteint en , racine de l'équation

on résoud par Cardan, une solution unique:


est racine double réelle.
De son équation, on obtient

puis

d'où le paramètre correspondant:


sympa, ça ! on utilise une relation algébrique pour calculer l'inverse de [COLOR]
avec division euclidienne de polynômes [/COLOR]
la racine non double vaut alors

On déduit de la courbe représentative de :
x est racine unique si et seulement si




ii)
l'équation (E) , on peut la résoudre d' inconnue a:


si on choisit un x, x=-3 par exemple,
on calcule a:
a=8
et l'équation a une racine
réelle évidente -3

iii) on a l'application
La représentation graphique de donne la discussion suivante:

si
l'équation (E_a) a trois racines réelles et x est la plus grande des racines.

[mathelot]

re,

le paramètre s'exprime comme

on dérive:



on intégre:



Désignons par la racine double et
son équation.

Dans l'ouvert
(ça marche, ça fait trois composantes connexes)

les fonctions de Cardan et vérifient les équations intégrales



où est la condition initiale.

remarque: il me semble que l'on définit les fonctions elliptiques par des intégrales. içi, le procédé n'a pas trop d'intéret car les formules de Cardan
sont explicites. Mais , à partir d'une équation de degré 5 ?

[mathelot]

re,

en traçant la courbe de (cf le post de Ben314 #11)
on a vu que l'application

donnait le paramètre a d'une équation à 1 ou trois racines réelles.

l'idée est la suivante: puisque x est une racine réelle de l'équation,
en remplaçant x par z=x+iy, on devrait traiter une solution complexe de l'équation. Pour ce faire, on imagine la courbe de , dans un plan vertical de direction et on "sort" horizontalement de l'axe x'ox en rajoutant une coordonnée iy à
la variable réelle x.


si on regarde l'application complexe

de manière que a soit réel
on trouve la condition sur Re(z) et Im(z):

d'où

ce qui force x à appartenir à l'intervalle

ça ne marche pas bien: les racines purement réelles ne sont pas des limites de racines complexes non réelles. On imagine deux difficultés:
i) il y a peut être une sorte de dualité entre racines (complexes)
et coefficients de l'équation (réels) qui n'est pas respectée.
On sait que pour les équations d'hyperplan, la dualité fait jouer le même
rôle aux variables et aux coefficients.
ii) Il y a peut être des points de ramifications sur la variété complexe,
qui ne se voient pas avec des variables réelles ??

si on prend par exemple , voilà ce que l'on obtient
successivement:


ou

et l'équation a pour racines:
, et

le paramètrage de a par x est bien "imaginaire" relativement à la courbe de puisque la solution réelle de l'équation () est alors sur une autre composante connexe de la courbe de que celle
qui contient le point M de partie réelle .

faudrait donc regarder l'équation
comme l'équation d'une courbe de avec
de manière à ne plus avoir de graphe dans qui s'interrompte brutalement.

On doit obtenir une sous-variété analytique de
Quand on paramètre par le complexe a, trois feuillets
qui correspondent aux 3 racines
et on peut aussi paramètrer le paramètre a par z:


comment visualiser ça dans ?

comment étudier ça ? reprendre les formules de Cardan
en introduisant un log complexe et des racines cubiques complexes,
en coupant judicieusement les domaines de définition puis en recollant ces différents domaines selon les coupures.
on devrait obtenir une surface de Riemann..

[mathelot]

un petit up...

je propose de reprendre l'étude de l'équation



comme équation d'une sous-variété analytique de , avec deux variables complexes a et z, qu'on y voit plus clair ..

déja, on restaure une certaine symétrie entre l'inconnue z et le coeff a.