Une équation différentielle à résoudre

par **Romane** » 30 Mai 2006, 21:28

Bonjour à tous,

je suis en MPSI et je prépare un TIPE, seulement j'ai un souci concernant la résolution d'une équation différentielle, la voici:

l - m * g * z = c * ( 1 + (z')^2 )^(1/2)

avec l,m,g et c des constantes.

Si quelqu'un pouvait m'aider ça me rendrait un grand service. D'autant plus que je présente mon TIPE à l'oral vendredi...

par **Pythales** » 30 Mai 2006, 21:54

Si je comprends, l'équation est de la forme :

La solution est de la forme

(si t est la variable)

par **Pythales** » 30 Mai 2006, 21:56

Désolé, je n'avais pas vu z à gauche !

par **alben** » 30 Mai 2006, 22:01

Bonsoir,
C'est une équation dont on peut séparer les variables.
Il te suffit de poser ch(u) =(mgz-l)/c, de dériver et de remplacer les z et z'.
Ensuite arrange toi pour obtenir quelque chose du genre u'=...
ch = cosinus hyperbolique,

par **Pythales** » 30 Mai 2006, 22:04

J'espère ne pas me tromper cette fois : on arrive à une relation de la forme

soit

L'intégration dépend des valeurs numériques

par **Romane** » 31 Mai 2006, 07:49

alben a écrit:Bonsoir,
C'est une équation dont on peut séparer les variables.
Il te suffit de poser ch(u) =(mgz-l)/c, de dériver et de remplacer les z et z'.
Ensuite arrange toi pour obtenir quelque chose du genre u'=...
ch = cosinus hyperbolique,

Merci pour cette méthode, mais cela ne me semble pas très naturel sachant que je connais déjà le résultat et que celui-ci est en cosinus hyperbolique...

par **Romane** » 31 Mai 2006, 07:52

Pythales a écrit:J'espère ne pas me tromper cette fois : on arrive à une relation de la forme
soit
L'intégration dépend des valeurs numériques

Merci, je pense que je vais pouvoir y arriver comme ça. Mais le problème c'est que je n'ai pas de valeurs numériques, comme je veux résoudre cette équation dans le cas général. Est-ce qu'il n'y aurait pas là une histoire de changement de variable en sin ou cos?

par **alben** » 31 Mai 2006, 08:38

Romane a écrit:Merci pour cette méthode, mais cela ne me semble pas très naturel sachant que je connais déjà le résultat et que celui-ci est en cosinus hyperbolique...

La méthode naturelle, c'est
1 de retourner ton équation pour obtenir z'=f(z)
2 de faire un premier changement de variable en posant y=(mgz-l)/c
3 ensuite tu tombes sur une équations à variables séparées et le changement de variable par cos hyperbolique s'impose.

par **Romane** » 31 Mai 2006, 19:06

alben a écrit:La méthode naturelle, c'est
1 de retourner ton équation pour obtenir z'=f(z)
2 de faire un premier changement de variable en posant y=(mgz-l)/c
3 ensuite tu tombes sur une équations à variables séparées et le changement de variable par cos hyperbolique s'impose.

Super, j'ai compris, merci beaucoup! :++:

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