Résolution d'une équation différentielle

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de résoudre une équation différentielle d'ordre 1, mais je suis vraiment bloqué depuis un bon moment, du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.


---

Je dois résoudre (E) :

avec un complexe

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Le domaine n'étant pas précisé, j'ai supposé que je devais faire la résolution sur ou sur



Le cas a=0 est vite réglé.



---Je considère que a est non nul, et je note I l'un des intervalles de R suivant ou ou

J'ai résolu l'équation homogène associé (H):

les solutions sont les fonctions avec K complexe (et pour x dans I)


--Là où je rencontre une grande difficulté, c'est pour résoudre (E), je n'arrive pas à trouver une solution particulière sur I



-Pour prendre un exemple, je me suis placé sur

J'ai essayé la méthode de la variation de la constante, ce qui m'a amené à calculer une primitive de

, et après y avoir passé un temps assez long, je n'ai pas réussi et je ne vois pas comment calculer une primitive de cette fonction (en gros je n'arrive pas à intégrer cette fonction).



Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[zygomatique]

salut

ça m'étonnerait que a soit un complexe ....

à moins de donner l'énoncé exact ....


il me semble que les intervalles intervenant ici sont ]-oo, 0[ et ]0, +oo[

les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions


mais effectivement avec la méthode de la variation de la constante on tombe sur ce que tu dis .... et une primitive n'est pas évidente ....

[Robic]

J'ai trouvé , me suis-je trompé ?

Si a est un entier, on peut utiliser :
. (Il me semble qu'une telle formule existe, là je l'ai retrouvée sur deux exemples pour vérifier, c'est à confirmer.)

Mais si a n'est pas entier, ch'sais pas...
Peut-être développer 1/(1+t) en série entière (mais alors 0<t<1) ?

[chan79]

Salut
A tout hasard, si , en faisant varier la constante:

[Robic]

Pareil. Donc c'est mon g(t) qui semble être le bon.

[zygomatique]

J'ai trouvé , me suis-je trompé ?

Si a est un entier, on peut utiliser :
. (Il me semble qu'une telle formule existe, là je l'ai retrouvée sur deux exemples pour vérifier, c'est à confirmer.)

Mais si a n'est pas entier, ch'sais pas...
Peut-être développer 1/(1+t) en série entière (mais alors 0<t<1) ?

oui je pensais à un développement en série entière ...mais attention a n'est pas forcément entier !!!!


effectivement et on intègre terme à terme .... là où ça converge ...


m... je viens de voir "si a est entier" .... :ptdr:

[Doraki]

C'est un exercice ou c'est autre chose ?

[jonses]

J'ai dû faire des erreurs de calculs (et de recopiage aussi...), mais quoi qu'il en soit je retombe comme sur les autres post à essayer d'intégrer quelque chose, bah que j'arrive pas à intégrer.
Du coup je pense que je vais laisser tomber cet exo.

Merci en tout cas pour votre aide

Ah, oui, l'énoncé est pas clair, je l'avoue, mais il m'a été donné comme ça (et avec encore moins de précision)

[Doraki]

Néanmoins on doit pouvoir trouver des solutions pour tout a rationnel.

a=1/2 -> y = (2arctan(sqrt(x)) + C)/sqrt(x)

a=3/2 -> y = 2(1/x - (arctan(sqrt(x)) + C)/x^(3/2))

a=5/2 -> y = 2(1/3x - 1/x² + (arctan(sqrt(x)) + C)/x^(5/2))

a=-1/2 -> y = 2(-1 - (arctan(sqrt(x)) + C)sqrt(x))
...

a=1/3 -> y = (log(u+1) - log(u²-u+1)/2 + sqrt3*arctan((2u-1)/sqrt3) + C)/u où u = x^(1/3) (si je me suis pas gourré)

etc