Résolution d'un système...

[darkanett]

Bonjour à tous :)
Voilà que je fais des exos et je suis tombée sur une fonction assez intéressante:
F(x,y)=exp(-(x²+y²+z²))*(x²+2y²+3z²)
Le but est de définir les gradients et de résoudre le système où tous les gradients sont nuls puis déterminer la matrice Hessienne afin de trouver les minimas et les maximas locaux et globaux.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à résoudre le système où les différentielles de cette fonction sont nulles.
Est ce que quelqu'un veut bien m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,

indications:
quand on annule le gradients, on a 3 équations produits-nuls.

mais les conditions:

et



sont incompatibles deux à deux. ça facilite énormément la discussion

on devrait trouver des points d'intersection d'éllipsoïdes avec les
plans portés par les axes.

[darkanett]

Je n'arrive pas à comprendre comment t'as simplifié autant déjà. Les 3 équations que je trouve sont les suivantes:
1. x*exp(-(x²+y²+z²))(1-x²-2y²-3z²)
2. y*exp(-(x²+y²+z²))(2-x²-2y²-3z²)
3. z*exp(-(x²+y²+z²))(3-x²-2y²-3z²)

As tu considéré que l'exponentielle n'est jamais nulle, c'est pour ça que tu arrives à des équations simplifiées? J'avoue être un peu perdue, les maths ce n'est pas trop mon point fort.
Je sais qu'à la fin il y a 7 points pour solution mais je n'arrive toujours pas à les trouver... :cry:

[Finrod]

Oui en effet, les exponentielles ne sont jamais nulles, donc tu n'a qu'a regard l'annulaton des polynômes que mathelot a donné.

c'est un système linéaire (affine) de 3 équations à 3 inconnues (x²,y²,z²) à résoudre par substitution ou opérations sur les lignes (ou carrément sur la matrice, vu que visiblement tu sais ce que c'est)

[darkanett]

Oui j'ai essayé de faire ça, même en remplaçant les X² Y² et Z² par de nouvelles variables mais il y a toujours un X,Y et Z qui restent devant la parenthèse ce qui empêche d'exprimer une variable en fonction de deux autres...

[mathelot]

re,

posons
l'annulation de la différentielle df se résume à la condition


et l'espace euclidien tout entier est partitionné en


ça donne effectivement 7 points
h=1 deux points
h=2 deux points
h=3 deux points
1 point

(h=1) est un ellipsoïde. on l'intersecte avec la droite d'équations
(y=0 et z=0) qui est l'axe x'ox

[darkanett]

Excusez mon ignorance en mathématiques, vu que je fais de la finance mais qu'est ce que c'est qu'un espace euclidien déjà??? :hein: