Representation de fonction complexe

[Cryptocatron-11]

Bonjour,

Je viens de voir une bonne vidéo sur les représentations graphiques de fonctions complexes . Voici le lien
http://www.youtube.com/watch?v=m1UckDpr-nw&feature=player_embedded
http://meak.free.fr/reflex/ (sur son site en bas des tableaux)

Et je suis tombé sur un topic d'un autre forum ou le posteur a demandé

Bonjour à tous,

Cette année j'ai étudié les fonctions de à valeur dans , qui ne pose pas de problème particulier pour une représentation graphique.

Cependant je me demandais comment représenter une fonction de dans , ou bien même une fonction
. Il nous faudrait quatre dimension pour y arriver pleinement.

Or j'ai lu et entendu que l'analyse complexe pouvait être intuitive et guidé par des dessins, d'où ma question.

Je n'ai pas trouvé beaucoup d'informations à ce sujet, j'ai pensé moi-même à faire la chose suivante:

On prend une fonction $ et on trace la fonction qui a tout de associe . J'ai même trac' quelques courbes sympathique avec cette méthode.

Cependant je voulais savoir quelle était la solution la plus employée par les mathématiciens, car rien ne me prouve que ma méthode a des grosses lacunes.

Merci d'avance!

Je me pose la même question sauf qu'on la redirigé sur les liens que j'ai cité ci dessus sans rééls explications .... :hein: .

J'aimerais que quelqu'un m'explique un peu comment interpréter cette vidéo. J'aimerais savoir comment représenter graphiquement une fonction complexe. Apparemment avec les couleurs ça à l'air possible ...

Un autre posteur lui a répondu ça

Nous vivons dans un monde à 4 dimensions ( minimum ), on peut donc facilement imaginer une courbe/surface en 4 dimensions.
Tu as saisi ?En faisant une surface qui se déplace dans l'espace à 3 dimensions, tu en as 4.

Quand tu donnes un rdv ( des coordonnées donc ), tu donnes l'emplacement ( 3 dimensions ) et l'heure, et sans ces 4 coordonnées, le rdv aura du mal à avoir lieu

Mathématiquement ça peut se traduire par
Soit D:={} et soit H:={}
avec f:=D->H qui est une application de R² dans R²

Et physiquement on peut s'imaginer une place ou on a installé un grand huit (manège) et l'individu dans le wagon du grand huit aura pour valeur de départ les coordonnées (x,y) et valeur d'arrivée les coordonnées (z,t). En clair ça hauteur et le temps ou il se trouve vont varier suivant (x,y)

Est ce à peu près ça ? Mais bon ça c'est valable pour les fonctions réelles à plusieurs variables réelles

[Skullkid]

Je me pose la même question sauf qu'on la redirigé sur les liens que j'ai cité ci dessus sans rééls explications .... :hein: .

J'aimerais que quelqu'un m'explique un peu comment interpréter cette vidéo. J'aimerais savoir comment représenter graphiquement une fonction complexe. Apparemment avec les couleurs ça à l'air possible ...

Pour commencer, on assimile les fonctions de C dans lui-même à des fonctions du plan dans lui-même, grâce à la correspondance classique z -> (Re(z),Im(z)), donc on a besoin de 4 dimensions pour représenter ces fonctions. Mais quand on dit dimension ça veut pas forcément dire "axe". Ce dont on a besoin c'est 4 paramètres. Dans ta vidéo ils choisissent ces 4 paramètres comme étant l'abscisse, l'ordonnée, la luminosité et la teinte, ce qui fait que les graphes se représentent bien sur plan coloré. Si j'ai bien compris, à chaque luminosité ils associent un réel qui aura vocation à représenter le module de f(x+iy), et à chaque teinte ils associent un réel qui aura vocation à représenter l'argument de f(x+iy). z' = f(z) se traduit sur leurs graphiques par le fait que la teinte du point (Re(z),Im(z)) est arg(z'), et sa luminosité est |z'|. Mais bon ce ne sont clairement pas des graphes faciles à lire, à moins d'être habitué à traduire d'un coup d'oeil les informations.

Mathématiquement ça peut se traduire par
Soit D:={} et soit H:={}
avec f:=D->H qui est une application de R² dans R²

Et physiquement on peut s'imaginer une place ou on a installé un grand huit (manège) et l'individu dans le wagon du grand huit aura pour valeur de départ les coordonnées (x,y) et valeur d'arrivée les coordonnées (z,t). En clair ça hauteur et le temps ou il se trouve vont varier suivant (x,y)

Est ce à peu près ça ? Mais bon ça c'est valable pour les fonctions réelles à plusieurs variables réelles

Je ne pense pas que ce soit à ça que le posteur faisait référence. À mon avis il parlait surtout de comment imaginer un espace en 4 dimensions, pas comment s'en servir pour représenter des courbes. Les deux ensembles que tu appelles D et H ils sont égaux à R².

Représenter un espace 4D en utilisant 3 axes et le temps ça revient, à chaque instant t, à faire une photo de l'espace 3D usuel. Le point de coordonnées (x,y,z,t) sera alors le point de coordonnées (x,y,z) sur la photo prise à l'instant t.

[Cryptocatron-11]

Je ne pense pas que ce soit à ça que le posteur faisait référence. À mon avis il parlait surtout de comment imaginer un espace en 4 dimensions, pas comment s'en servir pour représenter des courbes. Les deux ensembles que tu appelles D et H ils sont égaux à R².

Représenter un espace 4D en utilisant 3 axes et le temps ça revient, à chaque instant t, à faire une photo de l'espace 3D usuel. Le point de coordonnées (x,y,z,t) sera alors le point de coordonnées (x,y,z) sur la photo prise à l'instant t.

Ah bon. Je pensais que c'était ça au vue de la question précédente. Le premier posteur demandait comment se répresenter une fonction de R² dans R². Mais indépendamment de l'interprétation que j'ai pu en faire , c'est pas faux ce que j'ai dis d'un point de vue mathématiques ? ça represente bien une application de R² dans R² non ?

Pour commencer, on assimile les fonctions de C dans lui-même à des fonctions du plan dans lui-même, grâce à la correspondance classique z -> (Re(z),Im(z)), donc on a besoin de 4 dimensions pour représenter ces fonctions. Mais quand on dit dimension ça veut pas forcément dire "axe". Ce dont on a besoin c'est 4 paramètres. Dans ta vidéo ils choisissent ces 4 paramètres comme étant l'abscisse, l'ordonnée, la luminosité et la teinte, ce qui fait que les graphes se représentent bien sur plan coloré. Si j'ai bien compris, à chaque luminosité ils associent un réel qui aura vocation à représenter le module de f(x+iy), et à chaque teinte ils associent un réel qui aura vocation à représenter l'argument de f(x+iy). z' = f(z) se traduit sur leurs graphiques par le fait que la teinte du point (Re(z),Im(z)) est arg(z'), et sa luminosité est |z'|. Mais bon ce ne sont clairement pas des graphes faciles à lire, à moins d'être habitué à traduire d'un coup d'oeil les informations.

Franchement j'ai trouvé ces graphiques très compliqué à interpréter. J'ai essayé de comprendre avec la fonction exponentielle f(z)=e^z . On sait que z=x+iy donc e^z=e^x+e^iy. Après il a tracé la fonction e^x et il l'a ramené à un truc en dimension 2 coloré. Puis il a fait la même chose pour e^{iy}. J'ai cru que la couleur remplaçait l'axe des ordonnées tout simplement. Donc au final on se retrouve avec un espace de dimension 3 avec son truc à la fin: ça fait un plan coloré (plan=2 dimension et couleur = 1 dimension). Un autre membre du forum a posté ça ensuite

Fallait y penser, les images couleur sont en effet des fonctions de dans !

Donc les couleurs permettent de faire une application de R² dans R^3

Tu dis que la teinte ça représente une dimension et la luminosité ça en représente une autre donc la couleur permet de faire deux dimensions si je te comprends bien. Sauf que je pense que la couleur sert à faire qu'une seule dimension non ? le temps on peut le remplacer par de la couleur sur un graphique en 4D ( il suffit de colorier la surface (plus c'est clair et plus t est grand ...))

[Skullkid]

Ah bon. Je pensais que c'était ça au vue de la question précédente. Le premier posteur demandait comment se répresenter une fonction de R² dans R². Mais indépendamment de l'interprétation que j'ai pu en faire , c'est pas faux ce que j'ai dis d'un point de vue mathématiques ? ça represente bien une application de R² dans R² non ?

Le seul truc mathématique que tu as fait c'est poser tes deux ensembles D et H, qui comme je te l'ai dit sont tous deux égaux à R², le reste n'est pas clair. L'idée d'une représentation graphique, c'est de traduire l'assertion z' = f(z). Supposons que l'espace 4D que tu choisis c'est 3 axes + le temps où tes deux premières coordonnées (abscisse et ordonnée) ont vocation à représenter les antécédents et les deux autres (cote et instant) les images, c'est-à-dire que tu traduis le fait que z+it = f(x+iy) en marquant le point (x,y,z,t). Dans ce cas, ta représentation graphique ce sera une vidéo (une succession de graphes 3D, chacun correspondant à une valeur de t) et, si tu te places sur l'image qui correspond à t, le fait que le point de coordonnées (x,y,z) soit marqué signifie que f(x+iy)=z+it. Ce sera donc très dur à interpréter, puisque pour trouver l'image de x+iy, tu dois regarder le film et faire pause au moment où un point d'abscisse x et d'ordonnée y est marqué. L'image de x+iy te sera alors donnée par z+it où z est la cote du point marqué et t est le moment où tu as fait pause.

Franchement j'ai trouvé ces graphiques très compliqué à interpréter.

Parce qu'ils le sont, ou du moins ils sont beaucoup plus compliqués à lire que des graphiques classiques. Pour pouvoir les lire correctement, il faut avoir en tête le "code" qui permet de traduire un complexe en une couleur. Si tu n'as pas en tête que rouge sombre = 4i+7, tu ne sauras pas comment interpréter le fait que le point (1,8) soit colorié en rouge sombre.

Tu dis que la teinte ça représente une dimension et la luminosité ça en représente une autre donc la couleur permet de faire deux dimensions si je te comprends bien. Sauf que je pense que la couleur sert à faire qu'une seule dimension non ? le temps on peut le remplacer par de la couleur sur un graphique en 4D ( il suffit de colorier la surface (plus c'est clair et plus t est grand ...))

Dans la vidéo que tu as montrée, le gars utilise la couleur pour représenter deux dimensions, via la luminosité et la teinte, il le dit explicitement. Après, mathématiquement, rien ne t'empêche d'utiliser la couleur pour représenter une seule dimension, ou 3 ou 4 ou autant que tu veux (même si pour 3 et plus ça risque d'être encore pire niveau lisibilité du graphe). De même, en théorie, tu peux représenter le graphe d'une fonction de R^n dans R^m avec seulement deux axes quels que soient n et m, mais ce sera illisible. Le tout c'est de choisir un mécanisme de traduction. Pour les fonctions de R dans R, le mécanisme qu'on choisit c'est de traduire y = f(x) en marquant le point (x,y). Le graphe est alors l'ensemble des points marqués.