DM a rendre pour la rentrée !

[Anonyme]

Bonjour.J'ai déjà un DM à faire alors que la rentrée n'a pas encore eu lieu...et j'ai quelques petits problemes:

Soit Tn(cos (x))=cos(nx) un polynome.ON nous demande d'abord de resoudre Tn(cos (x)) =0 (ca, ca va) et puis d'en deduire que Tn(cos (x)) a n racines réelles et de donner la décomposition de Tn(cos(x)) en facteurs irreductibles.

Pour prouver les n racines je pensais à la formule de Moivre pour prouver que cos (nx) etait egal à un polynome du style cos (x)^n+....mais pour la décomposition....

Si quelqu'un peut m'aider je lui en serai infiniment reconnaissant.D'avance MERCI.

[khivapia]

Bonsoir

normalement tu trouves une infinité de solutions à l'équation T_n (cos(x) ) = 0, mettons 2n si tu te places dans [-pi,pi]. Elles sont toutes opposées par paires, donc en prenant le cos tu as en fait n solutions à l'équation T_n(y) = 0 (tu prends tous les y = cos(x), les x étant tes solutions précédentes.

Et c'est fini : les n racines de T_n sont distinctes et ton polynôme est de degré n (récurrence (facile ? ) avec la formule d'addition, ou bien utiliser la formule de Moivre ? ), il est donc scindé à racines simples.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...

[palmade]

Pour prouver le degré, utiliser la formule des sommes des cosinus
cos((n+2)x)+cos(nx)=2 cosx cos((n+1)x) et une récurrence avec T0(u)=1 et T1(u)=u
Par ailleurs pour x=0, u=cosx=1 et Tn(1)=1
Les racines étant uk=cos((2k-1)pi/2n) pour k=1,...,n
On en déduit Tn(u)=(u-u1)...(u-un)/((1-u1)...(1-un)