Bonjour, j'ai un devoir à rendre à la rentrée en préparation au CAPES en maths, et j'ai un petit problème dans la partie analyse je ne sais pas tro quoi utiliser j'espère que vous allez mieux m'éclairer dessus
je rappelle un peu les notations du devoir avant..
I est un intervalle de : I = ]0,+inf[ ou [0,+inf[ ou ]-inf,0[ ou ]-inf,0] ou lui-même
On a l'équation : E(I) : f(x) = xf'(x/2)
f une application dérivable sur I dans C
On note S(I) l'ensemble des solutions de l'équation E(I)
On a établit Partie II . B. 1 : si f est un élément de S(I) alors par récurrence, pour tout n, f est (n+1)-fois dérivable sur I\{0} et pour tout x de I\{0}, f^(n)(x) = (x / 2^n)f^(n+1)(x/2)+ (n / 2^(n-1))f^(n)(x/2)
On utilise le résultat précédent dans la Partie III.A.1 et on montre que si fS(I), alors pour tout k, l'application x--> x^kf^(k)(x) appartient à S(I) en supposant I = ]0,+inf[
et donc on en vient à la partie III.A.2 ou j'ai un problème :
Soit f application de S(I) et non identiquement nulle et S(I) est un espace vectoriel sur C que l'on suppose de dimension finie
III.A.2.a Montrons que f est solution sur I d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre q où q est compris entre 1 et dim S(I).
Voilà ce que j'ai fait :
je propose une rédaction dites moi ce que vous en pensez...
Soit f application de S(I)
Donc d'après III.A.1 , pour tout entier naturel k, l'application x-->x^kf^(k)(x) appartient à S(I)
De plus, d'après II.A.1, S(I) est un espace vectoriel sur C non réduit à {0} et par hypothèse on sait que S(I) est de dimension finie.
On en déduit donc que ,pour m compris entre 1 et dimS(I), les applications x-->x^mf^(m)(x) sont linéairements indépendantes.
Par conséquent f est solution de l'équation : x^qf^(q)(x) + x^(q-1)f^(q-1)(x)+ ...+ xf'(x)+ f(x) = 0 équation différentielle linéaire homogène d'ordre q avec q compris entre 1 et dim S(I)
Notation: f^(n) désigne la dérivée n-ième de f
Mezrci de me répondre et me dire ce qui ne va pas dans ma redaction merci