Relations entre les coefficients et les racines d'un polynome

[marloo]

bonjour! jai un exercice qui me pose pbm!

soient a b c trois nombres complexes, on pose u=a+b+c v=a^2+b^2+c^2 w=a^3+b^3+c^3

exprimer a^4+b^4+c^4 en fonctions de u , v et w
la methode : relations entre les coefficients et les racines d'un polynome!
je sais pas si vous pourriez maider mais merci quand meme!

[marloo]

Connais-tu les formules de Newton pour les polynômes symétriques ?

euh, c'est a dire? la FORMULE DU bINOME DE newton?

[Luc]

Salut,

Non, les identités de Newton ou Newton–Girard donnent un lien entre fonctions symétriques élémentaires, qui sont des polynômes à n variables du type , , etc. jusqu'à et les sommes de puissances des n variables (qu'on appelle sommes de Newton).

Un théorème énonce que toute fonction polynôme symétrique (invariant par permutation des variables) peut s'écrire comme somme de produits des fonctions symétriques élémentaires.

Les sommes du type a^i + b^i + c^i sont symétriques en (a,b,c) donc s'expriment comme somme de produits de fonctions symétriques élémentaires.

En pratique, écris a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 moins ce qu'il faut... (tu fais baisser le degré à chaque étape)

Luc

[marloo]

Merci beaucoup pour vos reponses! je comprend , mais j'avoue que j'y arrive pas! je vais Continuer a chercher...
apparemment, le prof a donner comme consigne de prendre un polynome P(X) = (x-a)(x-b)(x-c) , puis de faire ap(a)=0
bp(b)=0
c p(c)=0
d'additionner, puis pour finalement trouver

(a^4+b^4+c^4)^2=(a^2+b^2+c^2)^2 +2S ou s est à trouver !

[Maxmau]

Merci beaucoup pour vos reponses! je comprend , mais j'avoue que j'y arrive pas! je vais Continuer a chercher...
apparemment, le prof a donner comme consigne de prendre un polynome P(X) = (x-a)(x-b)(x-c) , puis de faire ap(a)=0
bp(b)=0
c p(c)=0
et d'additionner

Bj
C'est effectivement une des meilleures solutions
(il faut développer p(x) )

[marloo]

oui, mais je la comprend pas, et j'arrive pas au bout ..

[Maxmau]

oui, mais je la comprend pas, et j'arrive pas au bout ..

S1 = a+b+c , S2 = ab+bc+ca , S3 = abc
P(X) = (X-a)(X-b)(X-c) = X^3 - S1 X² + S2 X –S3
S’où: aP(a) = 0 = a^4 – S1 a3 + S2 a² – S3 a
De meme: bP(b) =
Et cP(c) =
Enfin on additionne

[Maxmau]

Si tu veux maintenant trouver une expression où il n’y a plus S1 , S2 ,S3
Remarque que : S1 = u , 2 S2 = u² - v,
Il te reste à trouver S3 en fonction de u , v , w
Pour cela additionne les 3 relations (développées):
P(a) = 0 , P(b) = 0 , P(c) = 0

[marloo]

c super, merci beaucoup pour l'aide :happy2: j'ai bien compris!