Relation noethérienne

[8nico6]

Bonjour à tous.

Je suis en licence d'informatique et l'un de mes enseignants nous a donné un poly avec ces définitions :

"Définition 2.1 Un ensemble ordonné est
1. un bon ordre si toute partie non vide admet un plus petit élément,
2. bien fondé si toute partie non vide admet un élément minimal,
3. nœthérien s’il ne contient pas de chaı̂ne infinie strictement décroissante.
Exercice 2.1 Montrez qu’un ordre est bien fondé si et seulement s’il est nœthérien."

Je ne suis pas certain de saisir la différence entre les affirmations 1 et 2, est ce que l'un d'entre vous est en mesure de m'aider?

Merci d'avance.

Bonne soirée.

[Ben314]

Salut,
Le problème, c'est évidement de connaitre les définitions des mots qu'il y a dans . . . tes définitions . . . :
Un "plus petit élément", c'est un élément qui est plus petit que tout les autres alors qu'un "élément minimal", c'est un élément tel qu'il n'y en ait pas de plus petit. Si ton ensemble est totalement ordonné (i.e. deux éléments quelconques sont toujours comparables) alors les deux notions coïncident.
Mais ce n'est pas le cas si tu n'as qu'un ordre partiel (= non total).

Par exemple, la relation de divisibilité sur l'ensemble des entiers naturels est bien une relation d'ordre mais pas totale : les entiers 3 et 5 sont incomparables (aucun des deux ne divise l'autre).
Et pour cette relation là, l'ensemble {2,3,6} admet un "plus grand élément" qui est 6 (car 2 et 3 divisent 6) mais pas de plus petit élément (par exemple 2 n'est pas plus petit élément car il ne divise pas 3).
Par contre il y a deux éléments minimaux, à savoir 2 et 3 (personne ne divise 2 et personne ne divise 3).
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[8nico6]

Salut,
Le problème, c'est évidement de connaitre les définitions des mots qu'il y a dans . . . tes définitions . . . :
Un "plus petit élément", c'est un élément qui est plus petit que tout les autres alors qu'un "élément minimal", c'est un élément tel qu'il n'y en ait pas de plus petit. Si ton ensemble est totalement ordonné (i.e. deux éléments quelconques sont toujours comparables) alors les deux notions coïncident.
Mais ce n'est pas le cas si tu n'as qu'un ordre partiel (= non total).

Par exemple, la relation de divisibilité sur l'ensemble des entiers naturels est bien une relation d'ordre mais pas totale : les entiers 3 et 5 sont incomparables (aucun des deux ne divise l'autre).
Et pour cette relation là, l'ensemble {2,3,6} admet un "plus grand élément" qui est 6 (car 2 et 3 divisent 6) mais pas de plus petit élément (par exemple 2 n'est pas plus petit élément car il ne divise pas 3).
Par contre il y a deux éléments minimaux, à savoir 2 et 3 (personne ne divise 2 et personne ne divise 3).
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Merci pour ta réponse,

En prenant un exemple similaire au tien mais avec {2,4,8} on a bien 2 élément minimal ET plus petit élément?

[8nico6]

ET, Est on d'accord quand au fait qu'un bon ordre est un ordre bien fondé, mais qu'un ordre bien fondé n'est pas nécessairement un bon ordre ?

Merci beaucoup pour ton temps.

[Ben314]

Si tu considère la relation de divisibilité sur l'ensemble {2,4,8} alors c'est un ordre total (2 éléments quelconques sont comparable) et comme en plus l'ensemble est fini, il admet forcément un plus grand élément (qui est 8 et qui est forcément un élément maximal) et un plus petit élément (qui est 2 et qui est forcément élément minimal).

Et sinon, oui, un bon ordre est forcément bien fondé, mais la réciproque est évidement fausse vu qu'une relation bien fondée n'est pas forcément un ordre total alors qu'un bon ordre est forcément total (vu qu'il faut que tout ensemble {x,y} admette un plus petit élément donc x et y doivent être comparable).
Le contre exemple le pire étant un ensemble quelconque (à plus de 2 élément, mais fini ou infini) sur lequel tu considère la relation d'égalité : c'est bien une relation d'ordre (vérifie...) mais avec laquelle un élément x n'est comparable que avec lui même. Donc c'est pas du tout un ordre total donc surement pas un bon ordre. Par contre c'est évidement un ordre bien fondé vu que n'importe quel élément est minimal (et aussi maximal) ! ! !