Relation mathematique !

[barbu23]

Bonjour :
Si : :

Est ce que dans ce cas là : :

Je pense que oui , par sysmetrie, mais je ne suis pas vraiment sûr si ça pourrait marcher ici, car il se peut qu'il ait des inconvenients dans le calcul ! qui sait ? j'attends votre confirmation !
Merci d'avance !

[barbu23]

svp ; aidez moi ! :happy3:
Dans quel cas : avec ?
Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Ben314 ; tu as une idée ? :happy3:

[Ben314]

J'ai "survolé" ta question et, pour le moment, je n'ai pas d'idée.
(tu te doute bien que si j'avais le quart du dixième d'une idée, je n'aurais pas pu m'empécher de l'écrire....)

[Ben314]

Par contre, j'avais pas bien lu, au départ, je pensait que c'était une série et des polynômes.
Tu confirme qu'il s'agit bien d'une somme finie ?
Dans ce cas les Pk et Qk sont des fonctions entières ?
(parce que, sinon, écrire l'exponentielle=un polynôme, ca colle pas trop....)

[Ben314]

En réfléchissant un peu, telle qu'elle est formulé, la réponse à ta question est clairement non :
1) je peut prendre un Pk=0 et le Qk correspondant égal "ce_que_tu_veux"
2) je prend Pk="ce_que_tu_veux", Q_k="ce_que_tu_veux_pas_forcément_pareil" puis P_(k+1)=-Pk et Q_(k+1)=Q_k

La question qui me turlupine est plutôt :
est ce que la seule façon d'obtenir ton truc n'est pas qu'un des couple (Pk,Qk) soit (e^z,e^z') et que la somme des autres soit 0 ?

[barbu23]

Par contre, j'avais pas bien lu, au départ, je pensait que c'était une série et des polynômes.
Tu confirme qu'il s'agit bien d'une somme finie ?
Dans ce cas les Pk et Qk sont des fonctions entières ?
(parce que, sinon, écrire l'exponentielle=un polynôme, ca colle pas trop....)

Oui, c'est une somme finie ! :happy3:

[barbu23]

En réfléchissant un peu, telle qu'elle est formulé, la réponse à ta question est clairement non :
1) je peut prendre un Pk=0 et le Qk correspondant égal "ce_que_tu_veux"
2) je prend Pk="ce_que_tu_veux", Q_k="ce_que_tu_veux_pas_forcément_pareil" puis P_(k+1)=-Pk et Q_(k+1)=Q_k

La question qui me turlupine est plutôt :
est ce que la seule façon d'obtenir ton truc n'est pas qu'un des couple (Pk,Qk) soit (e^z,e^z') et que la somme des autres soit 0 ?

non, en plus on a et non ! tu vois ce que je veux dire ? :happy3:

[Ben314]

J'avais (encore) mal lu, et , à froid, je vois pas trop ce que tu veut dire.
Avec le produit, cela ouvre de nouveaux horizon, car prendre z=0 (ou z'=0) donne de fortes contraintes.....

P.S. je vais bouffer sinon je me fait tuer.....

[barbu23]

Ben alors, toi tu dis :

est ce que la seule façon d'obtenir ton truc n'est pas qu'un des couple (Pk,Qk) soit (e^z,e^z') et que la somme des autres soit 0 ?

ça veut dire que : ! mais moi , j'ai : et non ! :happy3:

[Ben314]

OkOk,
je pensait que ton "tu vois ce que je veux dire ?" signifiait qu'il y avait une méga astuce dans l'énoncé.
En fait c'est juste pour dire que je suis encore gourré !!!!
En bouffant, j'ai un peu réfléchi, mais j'ai pas trop vu de réponses.
Mes remarques montrent quand même que, si solution il y a, on peut la "ralonger" (i.e. augmenter n) avec des tas de c... derrière qui font 0.
Par contre il reste la question : y-a-t-il une solution.

A froid, j'en doute, mais j'ai pas le début d'une preuve....

[Doraki]

Ca donne quoi l'intégrale de e^(xy)dxdy sur un rectangle ?

[Ben314]

???? je sais pas ??????

Tu as une idée derrière la tête ?

[Ben314]

J'ai l'impression qu'on peut essayer d'y voir un p.b. d'algèbre linéaire en regardant un e.v. sur le corps des fractions de fonctions entières....

Plus précisément l'e.v. des combinaisons linéaires de fonctions entières en z' sur le corps des fractions de fonctions entières en z.

Et je pense que ca n'engendre pas toute les fonctions en z,z'

[Ben314]

Aller hop, je fait remonter la discution (vu que doraki est connecté....)
Je comprend pas bien le rapport entre le problème et l'intégrale de e^(xy) sur un rectangle (que d'ailleurs je sais pas bien exprimer simplement....)

Suis-je vraiment bouché.... ou as-tu parlé un peu vite... ?

[Doraki]

J'me disais que si e^xy s'écivait comme somme de produits p(x)q(y),
d'un coté c'est facile à dériver/intégrer et de l'autre, c'est plus dur.
l'intégrale sur un rectangle serait les sommes de (P(x2)-P(x1))(Q(y2)-Q(y1)).
J'me disais que y'a ptetre quelques propriétés de ces trucs que n'a pas la fonction e^xy, mais j'avoue que j'ai pas du tout cherché.

[Ben314]

J'ai un peu réfléchi, et ce qui me parrait "coquin" c'est que si on accepte une somme infinie, la réponse est trivialement oui juste en regardant la série de e^(zz').
Il faut donc trouver un argument qui contredise le coté fini de la somme et cela me parrait bien compliqué : il faut introduire de l'algèbre et pas seulement de l'analyse (il me semble)...

P.S. par exemple ton argument dérivation/intégration marcherait aussi pour une somme infinie (modulo des hypothèses sur la C.V.)

[kazeriahm]

Si on demande a P_k et Q_k d'être des polynomes, en prenand z'=1 on arrive à la conclusion que exp(z) est un polynome en z... Bof

[wserdx]

Je pense être arrivé à la conclusion qu'une telle décomposition en somme finie ne peut pas exister.
Je fais d'abord l'hypothèse que les familles , respectivement sont linéairement indépendantes.
(Si ce n'est pas le cas on a par exemple où les sont une famille de complexes, et donc on est ramené à une somme avec un terme de moins.)
On peut donc trouver une famille de complexes telle que
la matrice de terme général soit inversible.
En écrivant le système pour

on aboutit à la conclusion que la famille (et donc ) est engendrée par une famille (finie) de fonctions

En injectant dans
on aboutit à la contradiction que est une combinaison linéaire finie
de fonctions de la famille de
Quelqu'un voit-il une erreur dans le raisonnement?

[Ben314]

Ca me semble "impec."
bravo