Relation injectivité/monotonie

[Orph123]

bonjour, svp je voulais m'assurer de la vérité de la proposition suivante:
*********f une application de E dans F***********
*********f injective ⇔ f monotone***************
Démonstration:
⇒ on a f est injective donc (pour tout x, y de E) x ≠y ⇒ f(x)>f(y) ou f(x)<f(y) donc f est monotone
⇐ on a f est monotone et on considère x, y de E tel que x<y(x ≠y)⇒f(x)<f(y) ou f(y)<f(x) d'ou f est injective

[hdci]

Bonjour,
C'est assez faux.
Contre-exemple : la fonction inverse, qui est bijective (donc injective) sur .
La fonction n'est ni croissante ni décroissante sur .
en effet, on a f(1)>f(2) mais f(-1)<f(1)

Il vous manque plusieurs conditions dans cette proposition :

1) Que sont les ensembles E et F ? Si la relation d'ordre n'y est pas définie, la monotonie n'a pas de sens (exemple : f est une fonction qui à tout couple (a,b) associe le point de coordonnées (a,b) dans le plan muni d'un repère)

2) Dans les ensembles de nombres : les monotonies sont décrites sur des intervalles. Si votre ensemble E n'est pas un intervalle de R, cela ne fonctionne plus (cf. le contre-exemple plus haut)

3) Enfin, il manque la condition essentielle : f doit être continue. Voici un autre contre-exemple : la fonction f définie sur [0;2] telle que f(x)=x si x<=1 et f(x)=1-x sinon

Votre erreur de raisonnement :

⇒ on a f est injective donc (pour tout x, y de E) x ≠y ⇒ f(x)>f(y) ou f(x)<f(y) donc f est monotone

La définition de "monotone", c'est "croissante" ou "décroissante" sur l'intervalle. Or une fonction est "croissante" si pour tout x,y de E, (x>y ⇒ f(x)>f(y)) (notez d'abord que l'hypothèse de l'implication est x>y et pas x ≠y).

Si vous voulez exprimer par une formule la monotonie, alors c'est :
(pour tout x, y de E) x >y ⇒ f(x)>f(y) ou (pour tout x, y de E) x >y ⇒ f(x)<f(y)


Par contre pour la réciproque, c'est presque correct : il faut préciser "strictement monotone" car par convention, comme pour les inégalités, la monotonie est au sens large, donc une fonction constante est à la fois croissante et décroissante, donc monotone (mais pas strictement).