Relation d'Euler F+S-A=2 [L2]

[mathelot]

Bonjour,

j'ai vû une très belle démo (au tableau noir)
de la relation d'Euler

F+S-A=2

où #A=nombre d'arêtes
#F = nombre de faces
#S nombre de sommets

d'un polyèdre convexe.

Donc pas d'angle rentrant.

l'idée est la suivante:
on choisit une face que l'on agrandit démesurément, de façon
à devenir quasiment un plan.
On projette le polyèdre (donc les caractéristiques combinatoires
n'ont pas changé) sur cette face.


On obtient un graphe plan.
De l'étude de ce graphe, connexe, situé à l'intérieur
du polygone constitué des arêtes de la face de projection, on en déduit assez aisément la relation.

idées ?

[Ben314]

Salut,

idées ?

Je n'ais pas bien compris, tu veut des idées pour terminer la preuve ?

P.S. Je rajouterais que la preuve que je trouve la plus jolie utilise les polygones sphériques (lien entre la somme des angles et la surface du polygône) : le la trouve plus joli car totalement symétrique.

[mathelot]

Salut,
Je n'ais pas bien compris, tu veut des idées pour terminer la preuve ?

oui ......................................

[Doraki]

Je me souviens avoir fait ça en voyant que quand on sépare une arête en deux en ajoutant un point, ou quand on sépare une face en deux en ajoutant une arête, la quantité S-A+F est invariante.

J'imagine que ça pourrait se formaliser en une sorte de récurrence sur le graphe plan.

[MacManus]

bonsoir

Il s'agit des "diagrammes de Schlegel"

http://www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/Schlegel.htm

[Ben314]

N'empèche que j'aime mieux la preuve qui utilise le fait que pour un polygone à n cotés tracé sur une sphère de rayon 1 (i.e. les arêtes sont des géodésiques, c'est à dire des gand cercles sur la sphère), on a :
somme des angles=(n-2).pi+la surface du polygone

En plus, il y a une démonstration de cette formule compréhensible niveau lycée...

A VOS STYLOS...

Indication : faire une récurrence...