Réduction de Jordan

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barbu23
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Réduction de Jordan

par barbu23 » 31 Juil 2007, 15:54

Bonjour:
Je cherche à déterminer une réduction de Jordan de la matrice suivante:

Voiçi comment je procède:
Posons: .
Alors, on a :
est une valeur propre d'ordre .
Il y'a donc un seul bloc : .
On va calculer: avec : .



Voilà, j'arrive à ce stade de solution et je ne sais pas comment résoudre ce système d'équation ..
Pouvez vous m'aider, et merçi infiniment !!



Sylar
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par Sylar » 31 Juil 2007, 16:05

Bonjour:

déja : (1)=(2)

On a donc 3 équations a 4 inconnues .....

Joker62
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par Joker62 » 31 Juil 2007, 16:06

La matrice est de rang 2, donc tu peux déjà supprimer 2 équations
La deuxième par exemple qui est exactement la même que la première.

On remarque aussi que det(A-I4)=0...

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 16:09

Il faut essayer d'écrire par exemple, et en fonction de pour qu'on ait :
...
A première vue, on remarque ,d'après le système : , que :

Joker62
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par Joker62 » 31 Juil 2007, 16:10

y = -2x [10 caractères]

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 16:14

oui :

Joker62
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par Joker62 » 31 Juil 2007, 16:18

Et quand on fait (3)+(4) on a -10x - 5y = 0 => -5(2x + y) = 0
...

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 16:20

Pour et ?
J'ai longtemps reflechi, mais je n'ai à rien abouti !!
J'ai fait : .. j'obtiens toujours :

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 16:32

Si on remplace : dans : et !!
On obtient :

C'est à dire:

alors là on est obligé de laisser (par exemple) invariant, et d'écrire en fonction et n'est ce pas ..?!
D'où :
Est ce que c'est vrai ça..?! Est ce que c'est juste ..?!

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 16:49

Je pense que c'est juste..!
Bon on termine .. !

Par conséquent :

avec : et .
La famille: est libre. ( facile à vérifier )

.
Maintenant, on va calculer : .
$\ (A-1.I_{4})^{2} =

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 18:27

Bon, je le reste, je l'ai fait :
On a:


Par conséquent :
Maintenant, on doit choisir : et ...Par exemple : , ensuite, on choisit : et ... Par exemple : .
Ainsi : est une base de .
On obtient le diagramme de réduction de :
.


Avec: et
Une base de réduction de Jordan de A est :
.
Posons : la matrice de passage de vers .
Maintenant, il reste à calculer la réduite de Jordan de , et là j'ai du mal à comprendre comment faire, c'est la dernire étape, on doit calculer : , , et ..
Pouvez vous m'aider sur ce dernier point .. Merçi d'avance !!!

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 31 Juil 2007, 18:37

Salut,

J'ai pas tout lu,

est ce que l'indice de nilpotence est égal à 4 ?

As tu déterminé les espaces caractéristiques, si oui, pour trouver la réduite c'est très simple, tu poste ton endomorphisme et tu multiplis succéssivement par les vecteurs

En espèrant être claire ..

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 31 Juil 2007, 18:41


barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 21:34

Merçi Sandrine !!
je comprends toujours pas comment les trouver .. :cry: !! je pense que j'ai fait tout ce que tu m'as demandé plus haut !!

barbu23
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par barbu23 » 31 Juil 2007, 22:13

(1)
Donc : .

.
Pour : :
On a : .
Pour : (D'après (1))

.
Pour: :
On a: .
Par conséquent: la reduite de Jordan de est :

 

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