Réduction de Jordan

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 15:54

Bonjour:
Je cherche à déterminer une réduction de Jordan de la matrice suivante:

Voiçi comment je procède:
Posons:

.
Alors, on a :

est une valeur propre d'ordre

.
Il y'a donc un seul bloc :

.
On va calculer:

avec :

.

Voilà, j'arrive à ce stade de solution et je ne sais pas comment résoudre ce système d'équation

..
Pouvez vous m'aider, et merçi infiniment !!

par **Sylar** » 31 Juil 2007, 16:05

Bonjour:

déja : (1)=(2)

On a donc 3 équations a 4 inconnues .....

par **Joker62** » 31 Juil 2007, 16:06

La matrice est de rang 2, donc tu peux déjà supprimer 2 équations
La deuxième par exemple qui est exactement la même que la première.

On remarque aussi que det(A-I4)=0...

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 16:09

Il faut essayer d'écrire par exemple,

et

en fonction de

pour qu'on ait :

...
A première vue, on remarque ,d'après le système :

, que :

par **Joker62** » 31 Juil 2007, 16:10

y = -2x [10 caractères]

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 16:14

oui :

par **Joker62** » 31 Juil 2007, 16:18

Et quand on fait (3)+(4) on a -10x - 5y = 0 => -5(2x + y) = 0
...

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 16:20

Pour

et

?
J'ai longtemps reflechi, mais je n'ai à rien abouti !!
J'ai fait :

.. j'obtiens toujours :

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 16:32

Si on remplace :

dans :

et

!!
On obtient :

C'est à dire:

alors là on est obligé de laisser (par exemple)

invariant, et d'écrire

en fonction

et

n'est ce pas ..?!
D'où :

Est ce que c'est vrai ça..?! Est ce que c'est juste ..?!

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 16:49

Je pense que c'est juste..!
Bon on termine .. !

Par conséquent :

avec :

et

.
La famille:

est libre. ( facile à vérifier )

.
Maintenant, on va calculer :

.
$\ (A-1.I_{4})^{2} =

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 18:27

Bon, je le reste, je l'ai fait :
On a:

Par conséquent :

Maintenant, on doit choisir :

et

...Par exemple :

, ensuite, on choisit :

et

... Par exemple :

.
Ainsi :

est une base de

.
On obtient le diagramme de réduction de

:

.

Avec:

et

Une base de réduction de Jordan de A est :

.
Posons :

la matrice de passage de

vers

.
Maintenant, il reste à calculer la réduite de Jordan de

, et là j'ai du mal à comprendre comment faire, c'est la dernire étape, on doit calculer :

,

et

..
Pouvez vous m'aider sur ce dernier point .. Merçi d'avance !!!

par **sandrine_guillerme** » 31 Juil 2007, 18:37

Salut,

J'ai pas tout lu,

est ce que l'indice de nilpotence est égal à 4 ?

As tu déterminé les espaces caractéristiques, si oui, pour trouver la réduite c'est très simple, tu poste ton endomorphisme

et tu multiplis succéssivement par les vecteurs

En espèrant être claire ..

par **sandrine_guillerme** » 31 Juil 2007, 18:41

Pour ta culture :

http://maths-forum.com/showpost.php?p=218886&postcount=19

Voilà

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 21:34

Merçi Sandrine !!
je comprends toujours pas comment les trouver .. :cry: !! je pense que j'ai fait tout ce que tu m'as demandé plus haut !!

par **barbu23** » 31 Juil 2007, 22:13

(1)
Donc :

.

.
Pour :

:
On a :

.
Pour :

(D'après (1))

.
Pour:

:
On a:

.
Par conséquent: la reduite de Jordan de

est :

Réduction de Jordan

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