Recurrence

[kmikazi]

Bonjour pouvez vous m'aidez j'y arrive pas du tout

Montrer par récurrence que, pour tout n ;) IN,
2^(3n);) 1 est divisible par 7 (c’est-à-dire (2^(3n );) 1)/7 est un entier).
Merci :zen:

[XENSECP]

0 est divisible par 7
8-1=7 est divisible par 7




Trivial.

[Joker62]

Hello.

C'est obligé la récurrence ?

[XENSECP]

Pas faux!

...

[kmikazi]

Hello.

C'est obligé la récurrence ?

oui c'est obligé

[XENSECP]

oui c'est obligé

Ce que Joker62 voulait dire c'est qu'on peut même le démontrer très facilement sans récurrence grâce aux propriétés de la congruence

[kmikazi]

0 est divisible par 7
8-1=7 est divisible par 7




Trivial.

merci de ta reponse mais je peux pas faire comme ça je dois le montrer par recurrence

[Archibald]

Euh, c'est ce qu'il a justement fait.

[kmikazi]

Euh, c'est ce qu'il a justement fait.

je peux pas utiliser les congruences :triste:

[XENSECP]

Dommage ;) Bon ce sera un peu + verbeux quoi...

[kmikazi]

Dommage Bon ce sera un peu + verbeux quoi...

bah justement vous pouvez pas m'aidez je sais pas comment faire, car on peut pas faire comme vous avez fait, il faut faire developpez avec n+1 et monter que c'est divisible par 7

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour pouvez vous m'aidez j'y arrive pas du tout

Montrer par récurrence que, pour tout n IN,
2^(3n);) 1 est divisible par 7 (c’est-à-dire (2^(3n );) 1)/7 est un entier).
Merci :zen:

Initialisation triviale ;
Pour l'hérédité, suppose que pour un certain rang , on a est multiple de , montre qu'alors pour le rang , est multiple de .
Exprime alors en fonction de .

:+++:

[kmikazi]

Salut !



Initialisation triviale ;
Pour l'hérédité, suppose que pour un certain rang , on a est multiple de , montre qu'alors pour le rang , est multiple de .
Exprime alors en fonction de .

:+++:

j'arrive pas je trouve 2^3n *2^3 -1 et apres je trouve pas la factorisation

[Robic]

Montrer par récurrence que, pour tout n ? IN,
2^(3n)- 1 est divisible par 7 (c’est-à-dire (2^(3n )- 1)/7 est un entier).

Voilà, ça c'est typiquement le genre d'exercice qu'il est impossible de ne pas réussir. Je ne comprends pas comment on peut ne pas y arriver (d'où l'intérêt de suivre ces discussions !). Kmikazi, je précise que ce n'est pas contre toi que je dis ça. J'essaie de comprendre comment on peut bloquer là dessus, du coup je vais expliquer comment on ne peut pas bloquer là dessus. Pour ça, je vais détailler ce qui doit se passer dans ta tête.

Tout d'abord, on traduit l'énoncé. Quelqu'un qui ne sait pas faire ça devrait arrêter les maths ! Il s'agit de démontrer que la propriété est vraie pour n=0 (elle doit être vraie sur tous les entiers, donc l'intialisation de la récurrence correspond à n=0) et qu'elle est héréditaire. La traduction est :

1) (je remplace n par 0) 1-1 est divisible par 7.
2) si 2^(3n)- 1 est divisible par 7 alors 2^(3(n+1))- 1 est divisible par 7.

Si je suis le prof de maths, j'exclus à vie tout étudiant qui n'est pas capable d'aller jusque là.

Ensuite, que signifie "divisible" ? J'ai lu qu'il ne fallait pas utiliser les congruences, ça tombe bien, je ne compte pas les utiliser (c'est trop subtil pour cet exercice enfantin...) Dire qu'un nombre entier p est divisible par 7 signifie qu'il existe un nombre entier q tel que p = 7q. Je crois que c'est la partie la plus difficile de l'exercice (c'est dire s'il est impossible de ne pas savoir le faire) mais normalement tout le monde devrait le savoir. (Si je suis le prof de maths et que quelqu'un n'y a pas pensé, je le lui fais recopier cent fois à la plume sergent-major.)

On peut donc traduire à nouveau les énoncés. Le 1) devient : démontrer qu'il existe q tel que 0 = 7q. Ce qui est évident...

J'attire l'attention sur le fait que je n'ai essentiellement rien fait, j'ai juste traduit les énoncés. Je n'ai pas fait de maths, je n'ai rien calculé, je n'ai pas réfléchi, je n'ai pas utilisé les fonctions avancées de mon cerveau (d'ailleurs en même temps que je tape ce texte je regarde TF1, alors hein ! (en fait non, mais ça aurait pu être vrai))

Traduisons le 2) :
S'il existe q tel que 2^(3n)- 1 = 7q, alors il existe q' tel que 2^(3(n+1))- 1 = 7q'.

(**)Je modifie juste un tout petit peu :
S'il existe q tel que 2^(3n) = 7q + 1, alors il existe q' tel que 2^(3n+3) = = 7q' + 1.

C'est là qu'il faut faire des calculs. Mais ils sont très simples : il s'agit de calculer 2^(3n+3) et de constater qu'il est effectivement de la forme demandée.

Bon, prenons notre courage à deux mains et allons-y :

2^(3n+3) = 2^3n x 2^3 = 2^3n x 8 = (7q + 1)(7 + 1) = 7(7q + 1) + (7q + 1) = 7(7q + 1 + q) + 1 = 7q' + 1 (avec q' = 7q + 1 + q - sous réserve que les calculs soient justes).

Ah oui, il y a une grosse astuce : 8 = 7 + 1. C'est peut-être la partie la plus difficile.

Je ne vois aucune raison que le plus largué des étudiants ne soit pas capable d'aller jusque (**).

Si je me suis embêté à détailler tout ça, c'est parce que j'ai remarqué qu'il y a de nombreuses situations de ce genre (blocage alors que ce n'est pas possible de bloquer) et que la démarche que je viens de décrire (traduire) marche la plupart du temps. En fait, j'ai l'impression que ceux qui ne savent pas faire ce genre d'exercice ont le tort de ne pas essayer d'avancer au maximum. Ils savent faire le début (je refuse de croire le contraire), mais comme ils ne voient pas comment faire ensuite, ils ne font rien. Il faut faire le début ! Et, surprise : la fin se dévoile alors automatiquement !

(Sinon, je suis désolé pour mon style un peu "pète sec", mais je crois que de temps en temps on a besoin d'une intervention musclée de l'adjudant...)

(Ah, et je suis désolé d'avoir donné la solution - non, il reste à rédiger - mais c'était nécessaire pour montrer en quoi il est impossible de ne pas réussir à résoudre cet exercice.)

[capitaine nuggets]

j'arrive pas je trouve 2^3n *2^3 -1 et apres je trouve pas la factorisation

A la fin de l'hérédité, il faut montrer que est multiple de .
Donc tu dois pouvoir écrire .
Remarque que :+++:

[kmikazi]

Voilà, ça c'est typiquement le genre d'exercice qu'il est impossible de ne pas réussir. Je ne comprends pas comment on peut ne pas y arriver (d'où l'intérêt de suivre ces discussions !). Kmikazi, je précise que ce n'est pas contre toi que je dis ça. J'essaie de comprendre comment on peut bloquer là dessus, du coup je vais expliquer comment on ne peut pas bloquer là dessus. Pour ça, je vais détailler ce qui doit se passer dans ta tête.

Tout d'abord, on traduit l'énoncé. Quelqu'un qui ne sait pas faire ça devrait arrêter les maths ! Il s'agit de démontrer que la propriété est vraie pour n=0 (elle doit être vraie sur tous les entiers, donc l'intialisation de la récurrence correspond à n=0) et qu'elle est héréditaire. La traduction est :

1) (je remplace n par 0) 1-1 est divisible par 7.
2) si 2^(3n)- 1 est divisible par 7 alors 2^(3(n+1))- 1 est divisible par 7.

Si je suis le prof de maths, j'exclus à vie tout étudiant qui n'est pas capable d'aller jusque là.

Ensuite, que signifie "divisible" ? J'ai lu qu'il ne fallait pas utiliser les congruences, ça tombe bien, je ne compte pas les utiliser (c'est trop subtil pour cet exercice enfantin...) Dire qu'un nombre entier p est divisible par 7 signifie qu'il existe un nombre entier q tel que p = 7q. Je crois que c'est la partie la plus difficile de l'exercice (c'est dire s'il est impossible de ne pas savoir le faire) mais normalement tout le monde devrait le savoir. (Si je suis le prof de maths et que quelqu'un n'y a pas pensé, je le lui fais recopier cent fois à la plume sergent-major.)

On peut donc traduire à nouveau les énoncés. Le 1) devient : démontrer qu'il existe q tel que 0 = 7q. Ce qui est évident...

J'attire l'attention sur le fait que je n'ai essentiellement rien fait, j'ai juste traduit les énoncés. Je n'ai pas fait de maths, je n'ai rien calculé, je n'ai pas réfléchi, je n'ai pas utilisé les fonctions avancées de mon cerveau (d'ailleurs en même temps que je tape ce texte je regarde TF1, alors hein ! (en fait non, mais ça aurait pu être vrai))

Traduisons le 2) :
S'il existe q tel que 2^(3n)- 1 = 7q, alors il existe q' tel que 2^(3(n+1))- 1 = 7q'.

(**)Je modifie juste un tout petit peu :
S'il existe q tel que 2^(3n) = 7q + 1, alors il existe q' tel que 2^(3n+3) = = 7q' + 1.

C'est là qu'il faut faire des calculs. Mais ils sont très simples : il s'agit de calculer 2^(3n+3) et de constater qu'il est effectivement de la forme demandée.

Bon, prenons notre courage à deux mains et allons-y :

2^(3n+3) = 2^3n x 2^3 = 2^3n x 8 = (7q + 1)(7 + 1) = 7(7q + 1) + (7q + 1) = 7(7q + 1 + q) + 1 = 7q' + 1 (avec q' = 7q + 1 + q - sous réserve que les calculs soient justes).

Ah oui, il y a une grosse astuce : 8 = 7 + 1. C'est peut-être la partie la plus difficile.

Je ne vois aucune raison que le plus largué des étudiants ne soit pas capable d'aller jusque (**).

Si je me suis embêté à détailler tout ça, c'est parce que j'ai remarqué qu'il y a de nombreuses situations de ce genre (blocage alors que ce n'est pas possible de bloquer) et que la démarche que je viens de décrire (traduire) marche la plupart du temps. En fait, j'ai l'impression que ceux qui ne savent pas faire ce genre d'exercice ont le tort de ne pas essayer d'avancer au maximum. Ils savent faire le début (je refuse de croire le contraire), mais comme ils ne voient pas comment faire ensuite, ils ne font rien. Il faut faire le début ! Et, surprise : la fin se dévoile alors automatiquement ! (Ici par un petit calcul de niveau collège.)

(Sinon, je suis désolé pour mon style un peu "pête sec", mais je crois que de temps en temps on a besoin d'une intervention musclée de l'adjudant...)

(Ah, et je suis désolé d'avoir donné la solution - non, il reste à rédiger - mais c'était nécessaire pour montrer en quoi il est impossible de ne pas réussir à résoudre cet exercice.)

haha nn tkt pas je le prends bien, je sais qu'au fond de moi meme je pouvais le faire mais j'ai tellement la tete dans les nuages en ce moment que pour le moindre raisonnement je me dirige sur le fofo :zen:

[Robic]

Oui mais il n'y a pas que toi, justement !

En fait, je me demande si les "pas forts en maths" sont au courant que les "forts en maths" sont comme eux : ils ne savent pas à l'avance comment on va résoudre l'exercice. La seule différence, c'est que pour les "forts en maths" le fait de ne pas savoir à l'avance comment on va faire n'est pas un prétexte pour ne rien faire...

[kmikazi]

A la fin de l'hérédité, il faut montrer que est multiple de .
Donc tu dois pouvoir écrire .
Remarque que :+++:

j'ai donc mis que 7*2^3n est multiple de 7 et 2^3n-1 est aussi multiple de 7 donc 2^3(n+1) -1 est multiple de 7 et donc par recurrence 2^3n -1 est multiple de 7

[kmikazi]

Oui mais il n'y a pas que toi, justement !

En fait, je me demande si les "pas forts en maths" sont au courant que les "forts en maths" sont comme eux : ils ne savent pas à l'avance comment on va résoudre l'exercice. La seule différence, c'est que pour les "forts en maths" le fait de ne pas savoir à l'avance comment on va faire n'est pas un prétexte pour ne rien faire...

je suis d'accord avec toi

[deltab]

Bonjour.

En général, les "forts en maths" relèvent le défi, .....