Récurrence et suite

[log86]

Bonjour j'ai 2 questions d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre. Est ce que vous pourriez m'aider s'il vous plait.

1) Je dois montrer par récurrence sur n que
on me donne comme indication qu'on pourra écrire autrement le terme
Mais je ne vois pas vraiment ce que je dois faire:
j'ai posé la propriété
- est vrai , il n'y a pas de problème
- On suppose que est vraie pour n>1 montrons
mais je ne sais pas quoi faire ensuite.

Et ma 2ème question, on me demande , en écrivant , de montrer que la suite (n>=1) est croissante.
On me donne comme indication qu'on pourra écrire la relation à montrer sous la forme et utiliser l'inégalité de Bernoulli.
Pour moi un+1= = alors comment avoir ? est ce que vous avez une idée s'il vous plait?
merci car je ne vois vraiment pas comment faire

[mathelot]

bjr,

Dans une somme de n termes, on peut remplacer la somme de n-1
termes par (n-1) fois leur moyenne s (calculée sur les n-1 termes).

Ensuite on applique l'inégalité de concavité du log aux deux termes
s et , la somme de leur coeff valant 1.



après, on utilise la définition de pour récurrer.

[log86]

Bonjour mathelot désolé de te remercier que maintenant je n'ai pas accès à internet quand je veux;
je pense avoir compris ce que tu me disais

est que vous auriez une idée pour la 2ème question s'il vous plait?
J'ai calculé un+1/un mais j'arrive à mais je ne vois pas le lien avec l'indication donnée
merci

[mathelot]

? est ce que vous avez une idée s'il vous plait?

oui.

- écrire l'inégalité
- les termes étant positifs, on regroupe, par une division, tout ce qui
est élevé à la puissance n à gauche et le reste dans le membre de droite

à gauche, on obtient:



et ensuite la minoration des accroissements finis
(dans ce cas là, c'est Bernoulli)

car



a comme structure

pour f et h à déterminer.

[log86]

Merci beaucoup de m'aider
j'ai c'est à dire
après je regroupe à gauche les termes à la puissance n

comment arrives tu à avoir des signes - s'il te plait?

[mathelot]

Merci beaucoup de m'aider
j'ai c'est à dire
après je regroupe à gauche les termes à la puissance n
(\frac{1+ \frac{1}{n+1}}{1+ \frac{1}{n}} )^n <= \frac{1}{(1+ \frac{1}{n+1})}
comment arrives tu à avoir des signes - s'il te plait?

on réarrange dans les parenthèses.

[log86]

Merci et désolé pour l'erruer de signe
j'ai fini par trouver en partant du sens inverse car personnellement je n'arrive pas à voir que
mais par contre j'arrive à montrer en mettant au même dénominateur que
çà montre parfois mon niveau...merci pour votre aide

Est ce que vous pourriez me dire si mon raisonnement est bon s'il vous plait?
Comme l'inégalité de Bernoulli nous dit que pour tout n appartenant à N* et x>= -1 on a (1+x)^n >= 1+nx on a ici , car
->= -1
>= (*)
or
d'où
donc de (*) >=
d'où >=
sauf que je voulais du n+2 au dénominateur du membre de droite...

[log86]

Bonjour mathelot est ce que tu pourrais m'expliquer ce que tu m'as dit hier s'il te plait car là je suis totalement perdu.

et ensuite la minoration des accroissements finis
(dans ce cas là, c'est Bernoulli)

car



a comme structure

pour f et h à déterminer.

d'où çà vient s'il te plait ?
l'inégalité de Bernoulli ce n'est pas l'inégalité que j'ai dit dans mon message précédent?
merci