Terme général d'une suite définie par récurrence

[Agouraptor]

Bonjour à tous.

On définie pour tout la suite :



Et :



J'aimerais trouver le terme général de la suite en fonction de sans utiliser de techniques trop avancées (pourrait-on faire ceci avec le programme de Terminale/début de prépa) ? Peut-être que c'est assez évident, si c'est le cas, j’apprécierais des pistes pour continuer à travailler dessus.

Merci en avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
De façon immédiate, le terme général de ta suite s'écrit avec
(1) et, pour tout donc évidement pour tout .
(1) et, pour tout sauf que là, je pense pas qu'on puisse dire grand chose à part que

[Agouraptor]

Oui effectivement, mais donc il nous reste cette suite définie par récurrence . Donc on ne peut pas exprimer en fonction de uniquement ?

[Ben314]

Ben, si :
.

[Agouraptor]

Oui désoler, je viens de comprendre.

Je sais que tu as dit que c'était évident, mais est-ce que tu pourrais juste expliquer comment tu trouve et comment tu trouve les expressions de et . Merci de tes réponses en tout cas.

[Ben314]

Ben c'est simplement la formule de collège du développement A(B+C)=AB+AC : là au départ tu as 1 - 2/e c'est à dire un entier moins un entier divisé par "e". Et si tu multiplie ça par un entier (à savoir n+1) et que tu retranche un truc du même style (à savoir 0 + 1/e), ben ça fait un truc du même style "entier moins un entier divisé par e".

La même chose dit "avec du symbolisme", c'est que donc et .

[Agouraptor]

Ok, pour les expressions de et j'ai compris maintenant. Il y a une chose encore que je n'arrive pas a voir, c'est vraiment le tout début de ton premier message : "De façon immédiate, le terme général de ta suite s'écrit ". Comment tu arrive à dire que s'écrit comme cela juste en connaissant sa relation de récurrence. Désoler si c'est quelque chose que tu m'a déja expliquer, je ne vois juste pas là .

[Ben314]

Je sais pas trop quoi te dire : je pense qu'en regardant la suite, j'imagine (sans vraiment les calculer) la "forme" des premiers termes et que ça me "saute aux yeux" qu'on va avoir systématiquement avoir un entier - un entier divisé par e. Après, dés que ça te vient à l'esprit que ça va être de cette forme là, de le vérifier via le mini calcul du post précédent, c'est immédiat et ça se fait de tête.
Calcule par toi même les 4 premiers termes et tu verra que c'est bien "une évidence" vu le premier terme et la formule de récurrence.

[Agouraptor]

Ok, eh bien je vais vérifier tout cela, merci de ton aide