Je bloquer dans l'hérédité sur cette récurrence.
Soit
" Si
La propriété est vraie au rang
Une primitive de
Je n'arrive pas à faire l'hérédité.
Supposons que pour un rang
Récurrence polynôme
8 messages
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Récurrence polynôme
par mehdi-128 » 03 Mai 2019, 14:23
Bonjour,
Je bloquer dans l'hérédité sur cette récurrence.
Soit
. La propriété )
est :
" Si=n , x \mapsto P(x)e^{\lambda x})
admet une primitive sur 
de la forme  e^{\lambda x})
où =n)
"
La propriété est vraie au rang
Une primitive de
est 
avec =0)
Je n'arrive pas à faire l'hérédité.
Supposons que pour un rang
fixé on ait : =n+1)
Je bloquer dans l'hérédité sur cette récurrence.
Soit
" Si
La propriété est vraie au rang
Une primitive de
Je n'arrive pas à faire l'hérédité.
Supposons que pour un rang
Re: Récurrence polynôme
par Sa Majesté » 03 Mai 2019, 18:07
Salut,
Pour une démonstration par récurrence, il faut trouver un moyen de relier la propriété au rang n+1 et la propriété au rang n.
On peut donc penser à une intégration par parties.
Pour une démonstration par récurrence, il faut trouver un moyen de relier la propriété au rang n+1 et la propriété au rang n.
On peut donc penser à une intégration par parties.
Re: Récurrence polynôme
par aviateur » 03 Mai 2019, 18:55
Bjr
Jamais je n'aurai fait une récurrence là dessus. Il faudrait peut être revoir ta rédac. pour n=0 qui laisse à désirer.
Et puis C=0 ça va pas.
Sinon tu peux améliorer l'exo en donnant le calcul explicite de Q.
Si on désigne par})
l'opérateur de dérivation j fois alors tu peux démontrer que
^j}{\lambda ^{j+1}} D^{(j)}) P)
est la solution
Jamais je n'aurai fait une récurrence là dessus. Il faudrait peut être revoir ta rédac. pour n=0 qui laisse à désirer.
Et puis C=0 ça va pas.
Sinon tu peux améliorer l'exo en donnant le calcul explicite de Q.
Si on désigne par
Modifié en dernier par aviateur le 03 Mai 2019, 22:16, modifié 1 fois.
Re: Récurrence polynôme
par mehdi-128 » 03 Mai 2019, 20:33
Mon livre demande de faire par récurrence, sûrement parce que la chapitre sur les polynôme n'a pas encore été abordé.
J'ai réussi :
Une primitive sur de la fonction e^{\lambda x})
est :
e^{\lambda t} dt)
Les fonctions :)
et 
sont de classe 
sur .
Donce^{\lambda x}}{\lambda}- \dfrac{P(0)}{\lambda} + \dfrac{1}{\lambda} \int_0^x P'(t)e^{\lambda t} dt)
D'après l'hypothèse de récurrence, une primitive dee^{\lambda t})
est e^{\lambda t})
car =n)
Avec=n)
Alors :e^{\lambda x}}{\lambda}- \dfrac{P(0)}{\lambda} + \dfrac{1}{\lambda} (R(x) e^{\lambda x} -R(0)))
admet une primitive sous la forme :
- \dfrac{1}{\lambda}(P(0)+R(0)))
Avec= \dfrac{1}{\lambda} (P(x) - R(x)))
avec =\max(\deg(P),\deg(R))=n+1)
est une primitive de donc ))
est aussi une primitive de car la dérivée d'une constante est nulle.
D'où le résultat.
J'ai réussi :
Une primitive sur
Les fonctions :
Donc
D'après l'hypothèse de récurrence, une primitive de
Avec
Alors :
Avec
D'où le résultat.
Re: Récurrence polynôme
par aviateur » 03 Mai 2019, 22:34
mehdi-128 a écrit: Mon livre demande de faire par récurrence, sûrement parce que la chapitre sur les polynôme n'a pas encore été abordé.
Je vois pas le rapport. Et puis un exercice sur les polynômes ça veut dire qu'on sait ce qu'est un polynôme.
mehdi-128 a écrit:J'ai réussi : ???
Sous ton pseudo @Ram... il n'y a personne qui t'a donné la solution?
Et puis tout de même, c'est un peu con de faire une récurrence pour une démo en 2,3 lignes. Il y aurait un tordu qui impose une récurrence?
L'application linéaire de
Re: Récurrence polynôme
par mehdi-128 » 05 Mai 2019, 15:07
Votre méthode ne peut pas être utilisée à ce stade étant donné que les applications linéaires et espaces vectoriels sont abordés bien après dans le livre.
Puis on est dans le paragraphe "intégration par parties" donc...
Je n'ai pas compris d'où sort le :=Q'+ \lambda Q)
. Je ne comprends pas votre solution. C'est où que vous parlez de primitive ?
Puis on est dans le paragraphe "intégration par parties" donc...
Je n'ai pas compris d'où sort le :
Re: Récurrence polynôme
par tournesol » 05 Mai 2019, 16:45
Cherchons une fonction Q telle que e^{\lambda x})
soit une primitive de e^{\lambda x})
, P étant une fonction continue quelconque .
est une primitive de ssi
e^{\lambda x})'=P(x)e^{\lambda x})
ssi
e^{\lambda x}+Q(x)\lambda e^{\lambda x}=P(x)e^{\lambda x})
ssi
+\lambda Q(x))e^{\lambda x}=P(x)e^{\lambda x})
ssi (car 
n'est jamais nul)
+\lambda Q(x)=P(x))
Soit f l'application de)
dans )
définie par
=Q'+\lambda Q)
On a donc :
est une primitive de ssi
Q est un antécédent de P par F .
Dans le cas de la restriction de f aux polynômes de degrés n , on a effectivement le traitement ALGEBRIQUE concis et élégant proposé par aviateur .
Soit f l'application de
On a donc :
Q est un antécédent de P par F .
Dans le cas de la restriction de f aux polynômes de degrés n , on a effectivement le traitement ALGEBRIQUE concis et élégant proposé par aviateur .
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