Recherche d'intérieur et d'adhérence

[goudou]

Bonjour !
J'ai une petite question facultative de cours qui m'intrigue car je ne sais pas comment la résoudre !
Je dois trouver l'adhérence et l'intérieur de Q dans R².
Je sais l'adhérence de Q dans R, mais dans R², je ne vois pas :hein:
Pourriez vous m'aider à me le représenter ? merci !

[pangloss]

Je suppose que par l'adhérence de Q dans R², il faut comprendre l'adhérence du produit Qx{O} (qui est homéomorphe à Q) dans R².

L'intérieur de Q était déjà vide dans R, il le reste dans R².
Pour l'adhérence, tu peux t'aider des suites par exemple.

Quelles sont les limites possibles de suites de R² (cad une suite à double valeur réellle) dont la première valeur est rationnelle et la seconde est nulle?

Cela t'aide?

[Nightmare]

Salut !

Ce n'est pas vraiment une question de "savoir" mais plutôt de comprendre ... Que veut dire être dans l'adhérence ou être dans l'intérieur ?

[goudou]

J'ai déjà dit qu'il n'y a pas d'intérieur, mais je n'arrive pas à le justifier. Sur R, ça me semble logique car tout intervalle ]a,b[ contenant (m/n) va contenir des éléments de R\Q. Sur R², le principe reste le même ?

De même, l'intérieur de R\Q sur R², est ce bien l'ensemble vide, comme sur R ?

[goudou]

x est intérieur à A, si il existe r>0 tel que la boule ouverte de rayon r et de centre x est toujours dans A (en gros, tous les points du voisinnage de x appartiennent toujours à A)
x est adhérent à A si pour tout r>0 on a une boule ouverte de cnetre x et de rayon r qui a une intersection avec A.
Mes définitions, je les maitrise depuis l'an passé déjà ! Mais c'est le fait qu'on cherche de Q sur R²

[Nightmare]

Eh bien, considère une boule ouverte (ici un disque ouvert donc) centrée en un rationnel, est-elle contenue dans Q?

Pour l'adhérence, même idée. On sait déjà qu'elle contient R. Maintenant considérons un point qui n'est plus sur la droite réelle, les boules ouvertes centrées en ce point ont-elles toutes une intersection avec Q ?