Recherche de fonctions continues

[Anonyme]

Bonsoir!
Je planche désespérément sur un problème de math depuis des heures...
Pourriez-vous m'aider à résoudre ce problème?

Déterminer toutes les fonctions continues f:R->R telles que f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2 pour tout x, y appartenant à R

1. Vérifier que si f est différent de 0, alors f(0)=1. en déduire que f est paire. Pas de problème pour démontrer la parité mais un petit doute en ce qui concerne la valeur de f(o). J'obtiens f(o) =1 ou -1 et je ne parviens pas à rejeter cette dernière valeur.

2. Montrer par induction que f(n)=f(1)^(n^2)pour tout n appartenant à N. Pas de difficulté ici...

3. Montrer par induction que f(n/(2^m))=f(1)^((n/(2^m))^2)pour tout n,m appartenant à N avec m différent de 0.
C'est ici que je cale... Je ne sais pas comment m'y prendre.

4. Pour tout r appartenant à R, construire une suite de réels (x indice k), où k appartient à N, convergeant vers r et telle que pour tout k appartenant à N, il existe N appartenant à N tel que ((2^N)x indice k) appartient à Z.

(NB: x ne représente pas le symbôle de la multiplication!)

5. Déduire des résultats ci-dessus l'ensemble des fonctions f satisfaisant à l'équation dans l'énoncé.

Je vous remercie d'avance de votre aide.

PS: J'aurais besoin de cette aide si possible avant dimanche 06 novembre 2005, s'il vous plaît...

[Anonyme]

Bonjour!

Eh bien, depuis hier, j'ai un petit peu avancé dans la résolution de cet exercice puisque j'ai réussi à prouver le numéro 3 aussi.

Cependant, votre aide est toujours la bienvenue en ce qui concerne la suite de mon problème...

En ce qui concerne la petite précison au numéro 1., je me demandais si, en prouvant que, pour tout élément strictement positif, la fonction est positive et que, par ailleurs, la fonction est paire, cela suffirait à rejeter la valeur -1 pour f(0). Puisque la fonction est supposée continue, si elle est toujours positive pour des valeurs différentes de 0, alors on pourrait dire que f(0)=1 car dans le cas où f(0)=-1 la fonction n'est pas continue...

Enfin c'est une idée comme une autre... Mais j'aimerais savoir ce que vous en pensez...

Merci d'avance de votre aide

[Zeitblom]

Le problème est que la fonction constante égale à -1 est solution du problème, tu auras du mal à écarter ce cas... Par contre tu peux dire que si f vérifie ton équation, -f la vérifie aussi, donc on peut se ramener au cas f(0)=1.
Pour la 4), si on note E la partie entière, convient.
Et si ça peut t'aider pour la suite, tu dois trouver à la fin les fonctions de la forme + ou - avec a un réel quelconque

[Anonyme]

Merci Zeitblom pour ton aide...

Donc si j'ai bien compris il suffit que je démontre que f est paire pour en déduire que f(0)=1

Je te remercie encore. Je commençais à me sentir bien seule sur ce post...