Recherche d'équivalents...

[lisa22800]

Bonjour!
Voilà mon problème, j'ai un équivalent à déterminer en plus l'infini, d'une fonction pourtant pas bien compliquée, mais malgré tout, je bloque. La fonction est la suivante:

Pour simplifier le tout, j'ai multiplié par le conjugué, ce qui me permet d'obtenir un équivalent du numérateur (1/x) mais je me retrouve avec une somme de racines de ln et je ne sais trop quoi en faire. Je sais qu'elles sont positives et que donc je peux additionner leurs équivalents mais j'ai des doutes :
comme est-ce qu'on peut dire que ? (toujours en plus l'inf bien sur)
Et si oui, je me retrouve avec l'équivalent suivant : ce qui me semble pas super...
Voilà voilà, merci d'avance pour votre aide

[Le_chat]

Salut.

Tu peux dire que ln(1+x)=ln(x)+ln(1+1/x). Comme t'en en +l'infini, tu peux faire un dl de ln(1+1/x) comme 1+o(1).

Et alors sqrt(ln(1+x))=sqrt(ln(x))*sqrt(1+1/ln(x)+o(1/ln(x)) ce qui te permet de conclure.

et en l'infini, on a vraiment pas x équivalent à sqrt(x).

[lisa22800]

Salut.

Tu peux dire que ln(1+x)=ln(x)+ln(1+1/x). Comme t'en en +l'infini, tu peux faire un dl de ln(1+1/x) comme 1+o(1).

Et alors sqrt(ln(1+x))=sqrt(ln(x))*sqrt(1+1/ln(x)+o(1/ln(x)) ce qui te permet de conclure.

et en l'infini, on a vraiment pas x équivalent à sqrt(x).

Je vois bien que en +inf mais je ne comprends pas la suite, on aurait alors ?
Il y a quelque chose qui m'échappe ^^ pourriez-vous détailler s'il vous plait? Merci

[Le_chat]

Non le truc c'est que tu ne connais pas-a priori- de développement de ln(1+x) en l'infini. Tu connais un dl de ln(1+x) lorsque x->0.

Donc pour se ramener au cas où x->0, on écrit:

ln(1+x)=ln(x*(1+1/x))=ln(x)+ln(1+1/x).

Et, quand x tend vers l'infini, 1/x tend vers 0 donc tu peux utiliser le dl bien connu de ln(1+1/x). Ensuite il faut continuer les calculs.