Rayon de convergence

[Trident]

Bonjour,

dans la démonstration de l'existence d'un rayon de convergence pour toutes les séries entières, il y a deux petites choses qui me posent problème. Je vous énonce la démo et je vous dis ce qui me pose problème au fur et à mesure :

On veut donc démontrer la chose suivante :
Soit une série entière. Il existe un réel R positif ou nul ou éventuelle infini qui possède les propriétés suivantes :

1° Si , la série diverge.

3° Si , on ne peut rien dire (cas douteux).

Mon professeur donne cette démonstration (en rouge, ce dont je ne comprends pas) :

Si la série converge uniquement au point z=0, alors c'est trivial, on a R=0.
[COLOR=Red]Si on pose R=0, alors pour tous les z qui satisfont |z| > 0, la série diverge, ça c'est ok. Mais si |z| R, la série converge aussi. Le reste, j'ai bien compris.


Merci d'avance.

[Doraki]

Oui, quand tu fais la table de vérité de "implique", "faux implique faux" est vrai.

Le cas où la série converge pour tout z est l'autre cas extrême (le premier étant celui ou ça converge seulement pour z=0) donc il le passe sous silence mais oui, dans ce cas, z1 n'existe pas et R est infini.
Comme exemples t'as les polynômes, la fonction exponentielle et même tout ce que tu peux fabriquer en composant les deux autant de fois que tu veux.

Je préfère définir R comme étant la bornsup de {r>0 / |an| r^n est borné}.
Comme ça on voit vite que si |z| < R alors |an z^n| est dominé par une série géométrique de raison < 1, donc la série converge absolument, et si |z| > R alors |an z^n| ne tend pas vers 0 (bien au contraire il prend des valeurs arbitrairement grandes), donc la série diverge.

[Trident]

Oui, quand tu fais la table de vérité de "implique", "faux implique faux" est vrai.

Le cas où la série converge pour tout z est l'autre cas extrême (le premier étant celui ou ça converge seulement pour z=0) donc il le passe sous silence mais oui, dans ce cas, z1 n'existe pas et R est infini.
Comme exemples t'as les polynômes, la fonction exponentielle et même tout ce que tu peux fabriquer en composant les deux autant de fois que tu veux.

Je préfère définir R comme étant la bornsup de {r>0 / |an| r^n est borné}.
Comme ça on voit vite que si |z| R alors |an z^n| est minoré par une série géométrique de raison > 1, donc diverge.

Merci Doraki!