Rationnel

[Polytechnique enp]

Démontrer que x=(7+5;)2)^1/3 +(7-5;)2)^1/3
Est un nombre rationnel

[aymanemaysae]

Vous élevez x au cube, vous obtenez une équation en x de degré 3 qui admet une solution triviale facile à trouver.

Bon courage.

[Sake]

Démontrer que x=(7+5;)2)^1/3 +(7-5;)2)^1/3
Est un nombre rationnel

Voici la première solution pas du tout élégante à laquelle je pense :

En élevant tout à la puissance 3 :

x³ = (7+5;)2) + (7-5;)2) + 3(7+5;)2)^(2/3)*(7-5;)2)^(1/3) + 3(7+5;)2)^(1/3)*(7-5;)2)^(2/3)

= 14 + 3(7+5;)2)^(2/3)*(7-5;)2)^(1/3) + 3(7+5;)2)^(1/3)*(7-5;)2)^(2/3)

= 14 + 3*[(7+5;)2)^(2/3)*(7-5;)2)^(1/3) + (7+5;)2)^(1/3)*(7-5;)2)^(2/3)]

= 14 + 3*((7+5;)2)(7-5;)2))^(1/3)*[(7+5;)2)^(1/3) + (7-5;)2)^(1/3)]

= 14 - 3*[(7+5;)2)^(1/3) + (7-5;)2)^(1/3)]

Donc x³ + 3x - 14 = 0

Procédons désormais par analyse-synthèse. Supposons qu'il n'existe qu'une et une seule solution rationnelle, s'écrivant p/q (q non nul), à cette équation (c'est ce qu'on cherche).
Alors cette solution satisfait p³/q³ + 3p/q - 14 = 0, i.e. p³/q³ + 3pq²/q³ - 14q³/q³ = 0 ou encore

p³ + 3pq² - 14q³ = 0

i.e. q(14q² - 3pq) = p³

ce qui veut dire que q divise p³. Or p et q sont premiers entre eux donc q divise 1. Mieux encore, q = 1.

De même, on a p(p² + 3q²) = 14q³

Donc p divise 14. A partir de là, nous n'avons pas 36000 choix. Soit p = 2, soit p = 7. Or x = 7 ne satisfait pas à l'équation x³ + 3x - 14 = 0, donc x = 2.

Inversement, 2 satisfait bien à x³ + 3x - 14 = 0.


Mais... je sais pas si c'est propre

[aymanemaysae]

Je trouve – sauf avis contraire de ceux qui sont plus initié que moi – que votre solution est bien structurée. Pour ma part j’ai procédé comme suit :

On a x = 7 + 5 7 - 5

donc = 7 + 5 + 7 - 5 + 3 – (5 (7 + 5+ (7 - 5.

= 14 + 3 (49 - 50) x

= 14 – 3 x ,

donc on a : + 3 x – 14 = 0 qui a pour racine triviale 2,

donc + 3 x – 14 = (x – 2)( + 2 x + 7),

donc l’ensemble des racines de ( + 3 x – 14 = 0) est : {2, -1 - i , -1 + i } ,
donc la seule racine rationnel (et plus N) est 2.

[Sake]

Je trouve – sauf avis contraire de ceux qui sont plus initié que moi – que votre solution est bien structurée. Pour ma part j’ai procédé comme suit :

On a x = 7 + 5 7 - 5

donc = 7 + 5 + 7 - 5 + 3 – (5 (7 + 5+ (7 - 5.

= 14 + 3 (49 - 50) x

= 14 – 3 x ,

donc on a : + 3 x – 14 = 0 qui a pour racine triviale 2,

donc + 3 x – 14 = (x – 2)( + 2 x + 7),

donc l’ensemble des racines de ( + 3 x – 14 = 0) est : {2, -1 - , -1 + } ,
donc la seule racine rationnel (et plus \in N) est 2.

Tu es sûr ? Je doute que X² + 2X + 7 admette des racines réelles.

[aymanemaysae]

J'ai déjà corrigé mon erreur: j'avais oublié de taper un 'i' à côté de : merci pour la remarque .

[Sake]

J'ai déjà corrigé mon erreur: j'avais oublié de taper un 'i' à côté de : merci pour la remarque .

Autant pour moi, alors

[Ben314]

Salut,
C'est la méthode de Cardan et pour retrouver l'équation, il suffit de suivre la méthode "à l'envers" :

Si , et alors et .

Donc

EDIT : en fait, il y a plus simple vu que et que ...