Rang d'une matrice

[ludo56]

Bonjour à tous! Alors je sais que pour montrer qu'une matrice carrée (nxn) est de rang n, on peut calculer son déterminant et montrer qu'il est non nul. Ce que je voudrais savoir, c'est la méthode avec le déterminant pour calculer le rang d'une matrice cette fois non carrée. Il me semble de mémoire qu'il faut extraire dans la matrice des sous matrice carrée et calculer leur déterminant mais je sais pas trop . Merci bien pour votre aide!

[Nightmare]

Salut,

Oui, on a un théorème qui dit que le rang d'une matrice correspond exactement à l'ordre maximal des sous-matrices carrées inversibles.

Autrement dit, lorsqu'on nous donne une matrice n*p, on calcule successivement les déterminants des sous-matrices d'ordre max(n,p), max(n,p)-1 etc... dès qu'on tombe sur un déterminant non nul, l'ordre de la matrice donne le rang.

[Nightmare]

Euh pardon, c'est évidemment min(n,p) et non max(n,p) !

[ludo56]

Merci bien! Je voudrais etre sur d'avoir bien compris: Si j'ai une matrice 4x3 je commence par extraire les matrice 3x3 (donc il y en a 4). Si je trouve que le déterminant de ces 4 matrices est non nul alors le rang est 3 mais si un seul est nul alors la je dois travailler sur les matrices 2x2 ?

[Nightmare]

Non dès que tu as un déterminant non nul c'est bon, quels que soient les autes.

[ludo56]

ok merci bien !