Rang d'une matrice

[the__vempire]

bonjour,
est ce que le rang d'une matrice est nombre de pivots ou le nombre d'éléments non nul sur la diagonale ?
par exemple, j'ai la matrice suivante:
3 1 -1
2 1 -1
1 1 1

après avoir faire des opérations: L1<->L3 puis L2=L2-2*L1 puis L3=L3-3*L1 puis L3=L3-2*L2 , j'obtiens la matrice suivante

1 1 1
0 -1 -3
0 0 2

la réponse est rang de cette matrice =3 !!!!!!!!!
pourquoi sachant que j'ai utilisé 2 pivots (1) et (-1) et j'ai annulé les éléments qui sont au dessous d'eux.

[uztop]

Bonjour,

pour que le rang de la matrice soit egal au nombre d'elements non nuls sur la diagonale, il faut que la matrice soit diagonale, ce qui n'est pas le cas ici.
Sinon, pour considerer le nombre de pivots, il faut annuler completement une colonne (et pas seulement les elements du triangle inferieur).
Le rang est le nombre de colonnes independantes.

[leon1789]

pour que le rang de la matrice soit egal au nombre d'elements non nuls sur la diagonale, il faut que la matrice soit diagonale, ce qui n'est pas le cas ici.

Pour que le rang de la matrice soit egal au nombre d'elements non nuls sur la diagonale, il faut une hypothèse, par exemple être diagonale... ou être une matrice de projection... etc.

EDIT : cela dit, on voit bien que le rang de la matrice triangulaire présentée par the__vempire est 3...

[leon1789]

est ce que le rang d'une matrice est nombre de pivots ou le nombre d'éléments non nul sur la diagonale ?

Le rang d'une matrice est la dimension de l'espace vectoriel engendré par ces colonnes. En faisant du pivot de Gauss, on change les vecteurs colonnes, mais pas l'espace vectoriel engendré. Avec des vecteurs echelonnés (comme dans ta matrice triangulaire), la dimension est égale au nombre de vecteurs non nuls (c'est-à-dire 3 dans ton cas)

[magnum]

mais si une matrice est triangulaire supérieure, ses colonnes ne sont - elles pas libres ? Sinon vous auriez un contre exemple ?

[uztop]

oui, si la matrice est triangulaire supérieure (et ne contient pas de 0 sur la diagonale), ses colonnes sont bien libres.