Rang d'une matrice

[kkk]

Bonjour,
Concernant la matrice M suivante :
4 2 -2 -2
1 0 -1 -1
4 1 -2 -3
1 1 -1 0

Je trouve que son rang est 3, est-ce correct ?
(le problème est que j'ai tenté d'echelonner le système, il me reste 0=0 et un système pas tout à fait échelonné..)

Merci d'avance,
kkk

[fahr451]

bonsoir 3 aussi pour le rang

qu 'appelles tu "pas tout a fait échelonnée" ?

[kkk]

bonsoir et merci !
en fait, ça doit être la notion d'échelon qui ne doit pas être très claire pour moi..
en fait pour moi c'est obtenir un système linéaire pour lequel on obtient une diagonale (je ne sais pas si tu vois ce que je veux dire"..ou plutôt "on enlève une inconnue à chaque ligne")

[fahr451]

pour résumer voila ce qu'on obtient avec le pivot de gauss

pour une matrice M de taille n,p par opérations sur les lignes on peut obtenir une matrice N= (nij) (dite réduite de gauss) avec
n1s(1) , n2s(2) ,...,nrs(r) tous non nuls où s est strictement croissante
ces coefficients sont appelés pivots ils sont donc sur les lignes 1,...,r dans les colonnes s(1) ,...,s(r)

et dans la sous matrice "restante" ( à partir de la ligne r+1 et la colonne 1+s(r) )il n ' y a plus de pivot

car soit il n ' y a plus de ligne
soit il n ' y a plus de colonne
soit la sous matrice est nulle
la matrice N est donc échelonnée , les pivots sont "décalés" les uns par rapport aux autres mais rien n 'oblige qu 'ils soient tous sur la diagonale
ce qui est le cas qd s(1) = 1 , s(2) = 2 etc

[kkk]

d'accord !
merci beaucoup !
je me permet encore une question..en effet j'ai quelques pb avec la résolution de cet exercice..
On se place dans l'espace vectoriel R^4

On pose
e1 : (1,0,1,0)
e2 : (1,-1,0,1)
e3 : (0,1,1,0)
e4 : (a,b,c,d)

J'ai montré que la famille (e1,e2,e3) est linéairement indépendante.
La question qui suit me pose problème :
Pour quels valeurs de a,b,c,d a t-on e4 appartenant à Vect(e1,e2,e3) ?

[fahr451]

le système e4 = xe1+ y e2 +ze3 doit être compatible en x,y,z

ce qui permet de faire le pivot sur "la matrice complète" de taille 4

(3 premières colonnes les coordonnées de e1,e2,e3) dernière colonne a,b,c,d

il y a une équation de compatibilité (la dernière ligne) qui est la CNS demandée c'est l 'équation de l hyperplan engendré par e1,e2,e3

REM il était inutile de regarder le rang de e1,e2,e3 avant il sera donné par le nombre de relations de compatibilité ( nbre d 'équations à vérifier par a,b,c,d)

[kkk]

bonsoir fahr451,
pourrais-tu me donner les valeurs de a,b,c,d que tu trouves afin que je puisses me corriger par la suite ?
merci
kkk

[fahr451]

je ne fais pas le calcul
fais le et vérifie que les coordonnées de e1,e2,e3 vérifient bien ton équation

[kkk]

ok ! :we:
merci fahr451