Rang d'une matrice

[Zery]

Bonsoir !

Je prépare un examen final en algèbre linéaire, et j'ai encore du mal avec le calcul du rang d'une matrice. Voici l'énoncé :

On définit A = avec a0, a1 et a2 des paramètres réels.

1) a) Déterminer le polynôme caractéristique π de la matrice A (on ne demande pas de trouver les racines).

=> Je trouve

b) Soit une valeur propre de A.
i) Quel est le rang de la matrice () ?

Et là, ça bloque. Puisque lambda est valeur propre, on sait que donc , ce qui implique que puisque d'après le théorème du rang, .

Auriez-vous une piste pour déterminer le rang ?


Merci d'avance pour votre réponse

[hdci]

Le rang est soit 0, soit 1, soit 2.
Si le rang est 2, on peut extraire une matrice 2x2 inversible.

On peut alors commencer par regarder la matrice 2x2 extraite en haut à droite : cette matrice est
A =
Et son déterminant est 1.
Donc...

[Zery]

Ah oui !! Le rang correspond au plus grand ordre d'une matrice carrée inversible extraite de A. Puisque le déterminant de cette matrice extraite vaut 1, cette matrice est inversible et on peut conclure que rang A = 2.

Merci beaucoup !