Rang du groupe SU(2)

[AshesToAshes]

Bonjour,

j'ai un petit problème de compréhension concernant le rang des groupes de Lie.
J'ai lu que:

[HTML]
Le rang d'un groupe de Lie est égal aux nombres de générateurs commutant mutuellement.
[/HTML]

et que, en l'occurence le rang de SU(2) est 1 et celui de SU(3) est 2.
Et je ne comprends pas ceci, car quand je regarde les matrices de Pauli, qui sont generateurs de SU(2), elles ne commutent pas mutuellement, car on a



Et donc j'aurais dit que le rang est nul. Pourquoi ce n'est pas le cas?

Merci de vos reponses.

[AshesToAshes]

Bonjour,

je ne suis pas mathematicien et peut etre que ma question ci-dessus n'est pas bien posée.
Ce que je comprends (ou crois comprendre) est que les matrices de Pauli sont des generateurs du groupe SU2 (à un facteur i pres) c.f. http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrices_de_Pauli
Ces matrices ont la relation de commutation que j ai donné dans mon precedent poste. D'apres cette relation il me semble que ces matrices ne commutent pas mutuellement, c'est à dire que le rang est nul. Alors que je lis partout que le rang de SU2 est 1. Je dois surement mal comprendre quelque chose mais je ne vois pas.

Merci de vos réponses.

[Doraki]

tu peux montrer où t'as trouvé ce "nombre de générateurs commutant mutuellement" ?
parceque c'est franchement pas clair.

Bon après je m'y connais pas spécialement en groupes de Lie, mais ptetre que ça veut dire "le maximum de la dimension des sous-espaces vectoriels de l'algèbre de Lie formés d'éléments qui commutent entre eux" (ce qui a l'avantage de ne pas parler de générateur).

En l'occurence, n'importe quel élément d'une algèbre de Lie commute avec lui-même, donc toutes les droites vectorielles sont formées de trucs qui commutent entre eux. Donc le rang est >= 1.

[AshesToAshes]

Merci Doraki de ta réponse.

J'ai trouvé cette phrase par exemple page 8 de ce lien:

http://lpsc.in2p3.fr/collot/cours/IntroPP.pdf

ou bien debut de la deuxieme colonne page 4 (p202) de ce lien:

http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/20/59/52/PDF/ajp-jphys_1965_26_4_199_0.pdf

dans le deuxieme lien on peut lire:

[HTML]
Le rang d’un groupe est le nombre maximal de générateurs linéairement indépendants qui commutent entre eux. Dans le cas de SU2 le rang est un.
[/HTML]

Donc je ne pense pas qu'on puisse compter les elements qui commutent avec eux meme.

[Doraki]

Ah donc tu penses que le rang ne peut jamais être 1 alors ?
Nulle part ils disent qu'on a pas le droit de considérer une famille de 1 générateur, et il n'y a aucune raison de ne pas le faire.
Dans ton premier lien, ils disent même "I3 est le seul générateur commutant mutuellement", sous-entendant qu'ils considèrent la famille {I3}. Bon après c'est idiot parceque ce n'est pas le seul, et puis de toutes façons ils disent nulle part ce que c'est que I3 ni qui sont les autres générateurs.

[AshesToAshes]

Ah donc tu penses que le rang ne peut jamais être 1 alors ?
Nulle part ils disent qu'on a pas le droit de considérer une famille de 1 générateur, et il n'y a aucune raison de ne pas le faire.
Dans ton premier lien, ils disent même "I3 est le seul générateur commutant mutuellement", sous-entendant qu'ils considèrent la famille {I3}. Bon après c'est idiot parceque ce n'est pas le seul, et puis de toutes façons ils disent nulle part ce que c'est que I3 ni qui sont les autres générateurs.

Ce n'est pas que je pense que ca ne peut jamais etre 1, c'est que je ne comprends pas pourquoi c'est 1 dans ce cas. I3 est proportionnel à sigma3. Et il y a 3 generateurs pour SU2, à savoir sigma1, sigma2 et sigma3, qui sont les matrices de Pauli. D'apres ce que je comprends sigma3 (ou I3) doit commuter avec les autres generateurs sigma2 ou sigma1, or ce n'est pas le cas d'apres la relation de commutation. I3 n'est pas une famille de vecteurs ou matrices mais une matrice bien defini: I3=h/2 sigma3, h etant la constante de planck réduite

[Doraki]

non on te demande pas de trouver des générateurs qui commutent avec tout le monde.

Il faut trouver une famille de générateurs qui commutent entre eux (et pas qui commutent avec entre eux et aussi avec ceux qu'on a pas pris)

[AshesToAshes]

non on te demande pas de trouver des générateurs qui commutent avec tout le monde.

Il faut trouver une famille de générateurs qui commutent entre eux (et pas qui commutent avec entre eux et aussi avec ceux qu'on a pas pris)

Merci de ton aide. Mais j'ai trouvé ma réponse dans "Introduction to Mathematical Physics" M.T. Vaughn page 468:

[HTML]The rank of semisimple Lie Algebra A is the maximum number of linearly independent commuting elements of the algebra.
The rank of the Lie algebra SU(2) is one;
any of the (, say) commutes with itself,
but then and do not commute with .
The rank of the Lie algebra SU(3) is two since and
commute, but no independent element commutes with both of these.
In general, the rank of the Lie algebra of SU(n) is n-1
[/HTML]
Ici les S_k sont les matrices de Pauli, I_k décrit plus haut.
Donc on a bien le droit de compter le generateur qui commute avec lui meme. Je crois que ce qu'a dit Doraki est equivalent, mais je ne suis pas sur. Désolé j'ai un peu du mal, ca fait plus de dix ans que j'ai pas fait d'algebre

Merci et probablement à bientot pour d'autres questions sur le sujet!