Racines complexes d'un polynome

[BonbonB]

Bonjour,

dans mon exercice, on considère le polynôme: P(x)=10x^10-x^9-x^8... -x-1.
j'ai fait la première question, soit de montrer que:
P(x)=(x-1)(10x^9+9x^8+8x^7+...2x+1)

Par la suite, il faut montrer que les racines complexes de P(x) sont de module inférieur OU égal à 1, puis que le polynôme admet qu'une unique racine de module 1.
C'est ici que je bloque depuis un bon moment.

Merci

[Ben314]

Salut,
Si z est un complexe tel que alors

En faisant passer tout les termes à gauche et en factorisant (comme dans la question 1), tu en déduit que .
De plus, il ne peut y avoir égalité que si les complexes sont colinéaires à coeff. positifs ce qui donne

[BonbonB]

Donc en fait on obtient:
10z^10-z^9-z^8-z^7...-z-1 =
(z-1)(10z^9+9X^8+...2X+1) =
z-1=<0

en mettant module partout.
c'est ça?

Je ne comprends pas quand vous dites que les complexes sont colinéaires à coefficients positifs...

[Tiruxa]

Je ne comprends pas quand vous dites que les complexes sont colinéaires à coefficients positifs...

Cela signifie qu'ils ont même argument

Démonstration dans le cas de 2 complexes (facilement généralisable) ici :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-537369.html

Dans ce cas (module de z égal à 1) 1 et z ont donc même argument cela signifie que z est réel positif.

Le seul réel positif de module 1 est bien sûr 1.

Donc la seule racine de module 1 est 1.

[BonbonB]

L'égalité : 10z^10-z^9-z^8-z^7...-z-1 = 0 est possible si z^9, z^8...,z,1 ont même argument?
je ne comprends pas :triste:

[Tiruxa]

L'égalité : 10z^10-z^9-z^8-z^7...-z-1 = 0 est possible si z^9, z^8...,z,1 ont même argument?
je ne comprends pas :triste:

Non, si on a l'égalité


alors 1, z, z² etc ont même argument

[BonbonB]

Ah d'accord :we: et comment on démontre que:

|z^9+z^8+z^7...+z+1| inférieur ou égal |z^9|+|z^8|+|z^7|...+|z|+|1|?

[Ben314]

En utilisant 8 fois le résultat archi connu qui dit que (le plus court chemin est le ligne droite)