Racine nième de 1+i

[victen]

Bonjour

Quelles sont les solutions pour z^2=1+i et z^3=1+i ?
sachant que 1+i = ;)2e^i;)/4 ?

Merci d'avance ! :help:

[Carpate]

Bonjour

Quelles sont les solutions pour z^2=1+i et z^3=1+i ?
sachant que 1+i = 2e^i;)/4 ?

Merci d'avance ! :help:

avec

[victen]

Merci Carpate pour ces formules générales pratiques !

[Sourire_banane]

Salut,

Bonjour

Quelles sont les solutions pour z^2=1+i et z^3=1+i ?
sachant que 1+i = 2e^i;)/4 ?

Merci d'avance ! :help:

remarque que z=(z^2)^(1/2)

[Black Jack]

Se rappeler que |z^n| = |z|^n
et que arg(z^n) = n.arg(z)

z² = 1+i

Or |1+i| = V(21+1) = V2
et arg(1+i) = Pi/4 + 2k.Pi.

z² = V2.e^(i.Pi/4 + 2k.Pi)

z = V(V2).e^(i.(Pi/4 + 2k.Pi)/2)

z = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8 + k.Pi))

k = 0 et k = 1 donnent les 2 solutions.

z0 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8) = 2^(1/4).(cos(Pi/8) + i.sin(Pi/8)) = ...
z1 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8 + Pi) = ...
*****
Tu dois maintenant pouvoir faire seul le 2eme exercice.

:zen:

[victen]

J'obtiens alors

z0 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8) et
z1 = 2^(1/4).e^(-i.(7pi/8))

pour z^3 il suffit de continuer avec k = 2 ?

[Black Jack]

J'obtiens alors

z0 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8) et
z1 = 2^(1/4).e^(-i.(7pi/8))

pour z^3 il suffit de continuer avec k = 2 ?

z³ = V2.e^(i.(Pi/4 + 2k.Pi))
z = (V2)^(1/3) * e^(i.(Pi/4 + 2k.Pi)/3)
z = 2^(1/6) * e^(i.(Pi/12 + 2k.Pi/3))

Les 3 solutions avec k = 0, 1 et 2
...

Compris ?

:zen:

[victen]

k=0 => z0=2^(1/6) * e^(i.(Pi/12))
k=1 => z1=2^(1/6) * e^(i.(3Pi/4))
k=2 => z2=2^(1/6) * e^(-i.(7Pi/12))

Compris !

Merci ! Bonne soirée !

[victen]

Pardon, j'oubliais !
Il m'est demandé par la suite d'en DEDUIRE cos(pi/8), sin(pi/8) et tan(pi/8) ?

[Black Jack]

Pardon, j'oubliais !
Il m'est demandé par la suite d'en DEDUIRE cos(pi/8), sin(pi/8) et tan(pi/8) ?

J'aide pour le cosinus ...
Essaie (même technique ou bien via cos²(pi/8) + sin²(pi/8) = 1) pour le sinus.
Et puis avec tan(Pi/8) = sin(Pi/8)/cos(Pi/8) ...

z² = 1+i

z = a + ib
z² = a²-b² + 2iab

a²-b² = 1
2ab = 1

|z²| = |z|²
V2 = |z|²
a²+b² = V2

on a donc :

a²-b² = 1
2ab = 1
a²+b² = V2

2a² = 1 + V2
a² = (1+V2)/2

Or on sait que : z0 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8) = 2^(1/4).(cos(Pi/8) + i.sin(Pi/8)) = ...

a = 2^(1/4).(cos(Pi/8) > 0

2^(1/4).cos(Pi/8) = V((1+V2)/2)

cos(Pi/8) = [V((1+V2)/2)]/2^(1/4)



:zen:

[victen]

Merci pour cette aide Black Jack,
Je n'arrive pas à trouver b^2 pour sin(pi/8) !

[victen]

J'aide pour le cosinus ...
Essaie (même technique ou bien via cos²(pi/8) + sin²(pi/8) = 1) pour le sinus.
Et puis avec tan(Pi/8) = sin(Pi/8)/cos(Pi/8) ...

z² = 1+i

z = a + ib
z² = a²-b² + 2iab

a²-b² = 1
2ab = 1

|z²| = |z|²
V2 = |z|²
a²+b² = V2

on a donc :

a²-b² = 1
2ab = 1
a²+b² = V2

2a² = 1 + V2
a² = (1+V2)/2

Or on sait que : z0 = 2^(1/4).e^(i.(Pi/8) = 2^(1/4).(cos(Pi/8) + i.sin(Pi/8)) = ...

a = 2^(1/4).(cos(Pi/8) > 0

2^(1/4).cos(Pi/8) = V((1+V2)/2)

cos(Pi/8) = [V((1+V2)/2)]/2^(1/4)



:zen:

Merci pour cette aide Black Jack,
Je n'arrive pas à trouver b^2 pour sin(pi/8) !